Hogyan határozom meg az an=((n^2)-1)/((n^2)+1) korlátosságát?

Lehet hogy már késő, mert vége van a dolgozatnak, de adok egy tippet:

a számlálóhoz adj hozzá kettőt, vonj ki kettőt, egyszerűsíts!

n helyébe pozitív természetes számokat írhatunk be?

Ekkora legkisebbnél (n=0), an=0 lesz, míg ahogy nő az n, úgy lesz egyre közelebb 1-hez, de azt nem éri el, mivel a számláló mindig egy kicsit kisebb lesz a nevezőnél (az egyetlen különbség, hogy a számlálóból 1-et kivonunk, míg a nevezőhöz 1-et hozzáadunk)

Hogy lenne már n=0-nál an=0?

n=0, an=-1

n=1, an=0

Egyébként igen, felső korlátja 1, ami egyben a határértéke is

3

Köszi!

n=1-et akartam írni, eleve azzal kezdjük a pozitív egész számokat

(n^2-1)/(n^2+1)=(n^2+1-2)/(n^2+1)=1-2/(n^2+1)

A második tag szigorúan monoton csökkenő, \mathbb{Q}^+-ban haladó sorozat, úgyhogy mindig kisebb, mint egy.

De megpróbálhatjuk az (n^2-1)/(n^2+1)<1 egyenletet is megoldani. Ha ez azonos egyenlőtlenség, akkor nyert ügyünk van.

Esetleg még a Cauchy-tétellel is operálhatunk: a valós számokon minden Cauchy-sorozat konvergens (tehát korlátos).