Valaki elmagyarázná mi a különbség a szélsőérték és a korlátosság között?

Ez nem igaz ilyen formában; például a sin(x) függvény maximuma ugye 1, de a függvénynek a korlátja az összes 1-nél nagyobb szám is (mivel ahogy írtad, azoknál sem vesz fel nagyobb értéket). A legkisebb ilyen felső korlátot, esetünkben az 1-et szuprémumnak nevezzük, és így szokás jelölni:

sup(sin(x))=1

Ugyanígy az alsó korlátja -1, és az annál kisebb számok. A legnagyobb alsó korlát az infémum, és így jelöljük:

inf(sin(x))=-1

Ebben az esetben megegyezik a függvény szélsőértéke a kitüntetett korlátokkal.

Az 1/x függvény valóban jó példa arra, hogy ha korlátos, akkor nem feltétlenül van szélsőértéke; mivel ha a (0;végtelen) intervallumon vesszük, akkor látható, hogy szigorúan monoton csökken, de 0+ban a határértéke végtelen, tehát nincs maximuma, a végtelenben pedig 0, amit viszont nem vesz fel, mivel az 1/x=0 egyenletnek nincs megoldása. Tehát a függvénynek infémuma van; inf(1/x)=0, de minimuma nincs, szuprémuma sup(1/x)=végtelen, ám maximuma nincs (vagy ha van, akkor az végtelen, ez attól függ, hogy hogyan definiáljuk).

Olyan függvény is megadható, aminek sem korlátja, sem szélsőértéke nincsen; ezek a függvények általában oszcillálnak (vagyis "fel-le ugrálnak" az értékek), ilyen például a (-2)^x függvény, amit jobbára csak az egész számok halmazán értelmezünk; mivel végtelen sok páros és páratlan egész szám van, ezért ennek a függvénynek az értékei -végtelen és végtelen között ugrálnak. AZ ilyen függvényre mondjuk, hogy oszcillál.

Viszont olyan függvényt nem tudunk mondani, amelynek globális szélsőértéke van, viszont korlátja nincsen, mivel a globális szélsőérték megegyezik a infémummal, ha az minimum, a szuprémummal, ha az maximum. Ebben az egy esetben igaz a kijelentésed.

Nem egészen pontosan fogalmazol.

Az én példámban x=0-ban nincs is értelmezve a függvény, ezért itt NEM lehet szélsőértéke - legfeljebb határértéke lehet, mint ahogy most van is (véges) határértéke. De ez "csupán" azt jelenti, hogy minél jobban megközelíti x a 0 értéket (jobbról, tehát 0-nál nagyobb számokról van szó), akkor a függvényérték annál inkább közelítenek a 0-hoz "felülről", de 0-t NEM vesz fel. Ez viszont ellenmond a lokális/globális szélsőérték definíciójának.

A +végtelenben ugyanez a helyzet, csak itt meg 1-et NEM vesz fel. Ezért nincs szélsőértéke a függvénynek (legalábbis ez az intervallumon).

Mindez persze ennél a konkrét példánál csak akkor igaz, ha xe]0;végtelen[ - tehát ha az intervallum nyitott.

Legyen most f(x)=x^2, és xe[0;végtelen[. Világos, hogy ezen az intervallumon f(x) csak alulról korlátos (ha most a végtelent, mint tágabb értelemben vett határértéket kizárjuk), szigorúan monoton növekvő, és x=0 helyen szélsőértéke (minimuma) van. Tehát van egy szélsőértéke, mégsem korlátos a függvény, mert felülről nem korlátos.

Úgy tudom, hogy ha egy függvény alulról/felülről korlátos, az azt jelenti, hogy egy bizonyos értéknél nem vesz föl kisebbet/nagyobbat. Ilyenkor nem biztos, hogy meg tudjuk adni ezt a bizonyos értéket (a minimumot/maximumot), mert lehet nyílt intervallumon is korlátos, azaz meg tudjuk adni, melyik értéket nem veszi már fel, de a minimumot/maximumot már nem tudjuk megadni, a végtelenségig megközelíti a min./max. a már fel nem vett értéket (aszimptota). Pl: hiperbola

Azért se igaz, hogy minden korlát egyenlő a szélsőértékkel, mert míg a korlátosság a fv globális tulajdonsága, a szélsőérték lokális is lehet. Így korlátja egy fv-nek csak egy van, de a szélsőérték az értelmezési intervallumtól függ, és annyi van, amennyi intervallumon nézzük.

Előző vagyok, helyesbítenék, mert elég gagyin fogalmaztam:

"Úgy tudom, hogy ha egy függvény alulról/felülről korlátos, az azt jelenti, hogy egy bizonyos értéknél, azaz a korlátnál (legyen "b") nem vesz föl kisebbet/nagyobbat."

Ezt a "b"-t meg tudjuk adni, de a min./max-ot már nem biztos. Min.=alsó korlát, ha a "b"-vel nagyobb-egyenlő az érték, amit a fv felvehet, tehát zárt az érték-intervallum. De nem tudjuk megadni a min.-ot, ha a "b"-nél csak nagyobb lehet a felvehető min. érték, tehát nyílt az érték-intervallum. Ilyenkor úgy vesszük, hogy nincs minimuma, mert a végtelenségig megközelíti a "b"-t a min.