Hogy lehet megvizsgálni az alábbi sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából valamint mi a sorozat első 5 eleme? b (n) = n+3 / n+5

Az első 5 elemet úgy tudod meghatározni, hogy n helyére 1-től 5-ig beírod a számokat:

1. elem: b(1)=(1+3)/(1+5)=4/6=2/3

2. elem: b(2)=(2+3)/(2+5)=5/7

.

.

.

Monotonitás szempontjából először megsejtjük az első 5 elem alapján, hogy szigorúan monoton növő lesz, ez azt jelenti, hogy bármely két szomszédos tag közül a későbbi lesz a nagyobb, vagyis tetszőleges n-re

b(n)<b(n+1) teljesül, a képlet szerint felírjuk az n-edik és n+1-edik tag értékét:

(n+3)/(n+5) < (n+1+3)/(n+1+5), vagyis

(n+3)/(n+5) < (n+4)/(n+6)

Ezt az egyenlőtlenséget kell megoldani, és alapigazságra kell jutnunk, hogyha szigorúan monoton növekvő. Ha nem vagyunk túl kreatívak, keresztbeszorzással majd egyszerű egyenletrendezéssel kijön, ha viszont kicsit kreatívak vagyunk, mindkét oldal átalakítható:

1 - 2/(n+5) < 1 - 2/(n+6), vagyis

2/(n+6) < 2/(n+5), erről azért alapjáraton nem nehéz belátni, hogy igaz; azonos számlálójú pozitív törtek közül az a nagyobb, amelyiknek kisebb a nevezője, és mivel n+5<n+6 mindig igaz lesz, ezért az egyenlőtlenség minden n-re igaz lesz, de innen is kijön egyszerű egyenletrendezéssel.

Korlátosság: mivel szigorúan monoton növő a függvény, b(1) jó lesz alsó korlátnak, illetve az ennél kisebb számok is jók lesznek alsó korlátnak. Felső korlát könnyen kiolvasható az átalakított alakból: 1 - 2/(n+5), ebből megsejthető, hogy 1 jó lesz felső korlátnak, vagyis minden n-re

(n+3)/(n+5) < 1 teljesül. Megoldjuk:

n+3 < n+5

3 < 5 igaz, tehát az 1 jó lesz felső korlátnak, így a sorozat korlátos.