Erre tud példát valaki? Mondjon példát olyan valós sorozatra, amelynek határértéke +∞, de nem monoton növekedő!

a_{n} = 2^n, ha n páratlan; a_{n} = 2^(n-1) - 1, ha n páros.

n=1-től az első néhány elem:

2, 1, 8, 7, 32, 31, 128, 127, …

Ez a plusz végtelenhez tart, mivel bármilyen nagy N pozitív egész számra a sorozat N+2-edik tagja biztosan nagyobb N-nél, és nem monoton növekedő, mert minden párosadik elem kisebb az előtte levőnél.

De jó például az 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … sorozat is.

És akkor az én első válaszom is kiegészítésre szorul:

„bármilyen nagy N pozitív egész számra a sorozat N+2-edik ÉS MINDEN AZT KÖVETŐ tagja biztosan nagyobb N-nél”

A nevedért bocsánatot kérek! Tényleg illett volna nekem is úgy írnom, ahogy te írtad.

Másrészt ez a sorozat, amit írtál, már valóban végtelenhez tart, viszont n = 1-től ez szigorúan monoton nő (n=0-ra meg ugye nem értelmes). Az első néhány tag századra kerekítve:

0; 2,5; 2,67; 4,25; 4,8; 6,17; 6,86;…

„Egyébként akkor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke a végtelen, ha nem konvergens.”

Miért nem mindjárt az sin(n)-et írtad? Ez se konvergens. Vagy ennél egy fokkal egyszerűbb a (-1)^n. De izgibb az n*(-1)^n. Ezek akkor mind a +∞-hez tartanak?

„A végtelen ugyanis nem szám, a határérték definíciója így rá nem alkalmazható.” – Ez esetben a feltett kérdés értelmetlen, és nincs is értelme rá választ adni (vagy az a válasz, hogy értelmetlen a kérdés).

A végtelen valóban nem szám, viszont attól még, hogy nem alkalmazható rá a véges határérték definíciója, még lehet definiálni a végtelen határértéket:

Egy a_n sorozat tart +∞-hez akkor, ha bármilyen nagy pozitív E számhoz (ez van ε helyett) létezik egy véges N küszöbindexet, hogy minden n > N-re a_n > E.

(Ugye a véges határérték definíciója: Egy a_n sorozat tart egy véges A számhoz, ha minden ε > 0 számhoz van létezik egy véges N küszöbindex, hogy minden n > N-re

|A - a_n| < ε.

És akkor a teljesség kedvéért:

Egy a_n sorozat tart -∞-hez akkor, ha bármilyen kicsi negatív E számhoz létezik egy véges N küszöbindexet, hogy minden n > N-re a_n < E.)