Valaki el tudná nekem magyarázni a függvények korlátosságát?

Alulról korlátos a függvény, ha találsz olyan számot, aminél kisebb értéket a függvény nem vesz fel. Nem muszáj pont a legnagyobb ilyen számot megtalálnod, végtelen sok ilyen van.

Felülről korlátos, ha találsz olyan számot, amelynél nagyobb értéket nem vesz fel a függvény. Itt is van legkisebb ezek közül, de végtelen sok ilyen szám van.

Akkor mondjuk egy függvényre, hogy korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos.

Amit előttem írtak az jó, de számomra is két olvasás után vált érhetővé. Teszek egy próbát én is.

Egy függvény esetén minden X értékhez hozzárendelsz egy Y-t. Ez a hozzárendelés tulajdonképpen egy matematikai művelet.

A függvény általános formája:

Y = [valamilyen X-szel végzett művelet]

Pl:

Y = X+1

Y = 2X+10

Y = cos(X)

Y = 2X+cosX+62

Szöveges példával: Minden X-hez hozzárendelem a kétszeresét, ekkor a művelet a szorzás, vagyis Y=2X. Ekkor leírhatod ezeket: Ha X=1 Y=2. Ha X=5 Y=10, stb.

Így fog kinézni (csak a csillagokat nézd, remélem egymás fölé esnek majd):

^y

6|......*

4|...*

2|*

0|1-2-3---> x

Olyan függvényed is lehet, ami a páros számokhoz 1-et rendel, a páratlanokhoz meg 2-t. (Ez egy szövegesen megadott függvény, de egyértelmű.)

^y

3|

2|*....*

1|...*....*

0|1-2-3-4-> x

Itt észre kell venni, hogy mivel a függvény értéke vagy 1 vagy 2, soha semmilyen körülmények közt nem tud 2-nél nagyobb vagy 1-nél kisebb értéket felvenni. Ezt hívjuk korlátnak, azaz Y nem mehet egy adott érték alá vagy fölé.

Egy függvény lehet nagyon egyszerű, például minden X-hez rendeljünk 5-öt (y=5), de lehet nagyon bonyolult is, pl minden x-hez rendeljük hozzá a koszinuszának a kétszeresének a nagymamájának a hatványának a valamijét.

Hogyan döntöm el a függvényről, hogy korlátos-e?

Ehhez azt a matematikai műveletet kell ismerni, amivel a függvényt létrehoztuk.

Hadd ismételjem meg, amit fentebb írtam, a függvény általános formája:

Y = [valamilyen X-szel végzett művelet]

Namost, ha ez az X-szel végzett művelet nem tud egy bizonyos értéknél kisebb vagy nagyobb lenni, akkor a függvény csak alulról vagy csak felülről, vagy pedig alulról ÉS felülről is korlátos.

Nézzük, hogyan lehetséges ez.

Azt tudjuk, hogy bármely számot emelünk négyzetre, az mindig pozitív vagy 0 lesz. (A négyzetre emelést így jelölöm: x^2, ez x-négyzet.)

1^2 = 1

5^2 = 25

(-5)ˇ2 = 25

(-3)^2 = 9

Azaz soha nem lehet 0-nál kisebb, azaz negatív, akármit is emelek négyzetre. Ekkor a függvény alulról korlátos, és a korlát maga a 0.

Nézzük a cos függvényt (tanultátok?).

A cos függvény (Y = cosX) esetében

Ha X = 1, akkor Y = 0,54

Ha X = 1,5 akkor Y = 0,07

Ha X = 1,57, akkor Y = 0.

Y értéke csökken egészen X = 3,14-ig, ahol Y = -1,

de ekkor megfordul, és X = 6,28-ig fokozatosan nő (Y=1),

ám ekkor megint megfordul, és X = 9,52 esetében Y = -1.

És így tovább.

TEHÁT A COS függvény -1 és +1 értékek közt ingázik, azaz Y értéke nem lehet nagyobb 1-nél, és nem lehet kisebb -1-nél. Ez alsó és felső korlát.

Mit kell tenni egy bonyolultabb függvénynél? Fel kell bontani darabjaira:

Pl:

Y = (cosX)^2

Itt tehát előbb vesszük az X-nek a cos-át (ami ugye egy -1 és +1 közt ingázó érték), majd a kapott értéket négyzetre emeljük. Mivel a négyzetre emelés történik később, ezért ő az "erősebb", vagyis a végső érték nem mehet 0 alá.

Mivel minden cosX érék 1 és -1 közt van, ezért ezek négyzete is maximum 1.

Nézzünk pár példát:

Ha X = 1, akkor cosX = 0,54, ennek négyzete 0,29, azaz Y = 0,29.

Ha x = 1,5 akkor cosX = 0,07, négyzete pedig 0,005 (Y=0,005)

Ha x = 1,57 akkor cosX = 0, ennek négyzete 0.

Innen a cosX tovább csökken ugye -1-ig, de a négyzetre emelés miatt a függvény értéke (azaz Y) nőni fog. Ha X = 3,14, akkor cosX = -1, ennek négyzete +1.

Nézzünk egy másikat:

Y = cos(x^2)

Itt a cos történik később, ezért ő az erősebb. Ezért bármit is kapunk az x^2 esetén, mindig tudjuk, hogy az értéke -1 és +1 közt lesz.

Pár példa:

Ha X = 1, akkor X^2=1, ennek cos-a = 0,54.

Ha X = 1,77, akkor X^2= 3,14, cos(X^2) = -1

Ha X = 2, akkor X^2=4, cos4 = -0,65

Ha X = 120, akkor x^2 = 14400, cos14400= 0,48

Szűrjük le a tapasztalatokat:

Ha egy sima függvényünk van, akkor lehetséges alsó felső vagy mindkét korlát, ha az X-en végzett művelet valamiképpen nem vehet fel egy határérték alatti vagy feletti számot. A négyzeten és a cos függvényen kívül ilyen pl az abszolút érték (minden értékből pozitívat csinál, vagyis Y nem mehet 0 alá) vagy a törtrész függvény (minden számhoz hozzárendeli a tizedestört utáni részét, azaz 1,0-hoz a 0-t. 1,5-höz a 0,5-öt, 1,99-hez a 0,99-et, viszont 2,0-hoz megint 0-t, 2,5-höz 0,5, 2,99-hez 0,99, stb így 0 és 0,999999999 közt ingázik.)

Ha egy számmal több műveletet végrehajtunk, akkor mindkettőnek érvényesülhetnek a korlátai, de az utolsó művelet az erősebb.

Az Y = x^2 alulról korlátos, mert értékei sosem mennek 0 alá, de Y bármilyen nagy lehet (felülről nem korlátos).

Az Y = cosX alulról és felülről is korlátos (egyszerűen mondva korlátos), mert se +1 fölé, se -1 alá nem mehet Y értéke.

Egy függvény esetén az a legjobb, ha nem csak azt tudod megmondani, hogy korlátos-e, hanem azt is meg tudod mondani, hogy melyik szám ez a korlát (-1? 0? +1? valami más?)

Az első válaszoló válasza azért volt helyes, mert ha te legalább egy számot tudsz mutatni, ami alá nem mehet a függvény, akkor már bebizonyítottad, hogy korlátos, még ha magát a korlátot nem is tudod megmondani.

Példa:

Y = X^2 esetén ugye Y értéke sose mehet 0 alá. Tulajdonképpen, ha nem tudod ezt az összefüggést, de valahogy be tudod bizonyítani, hogy a függvény nem mehet -515 alá, akkor már bizonyítottad a korlátot, csak azt nem, hogy MI EZ A KORLÁT. Vagyis tudod, hogy a függvényed valahol -515 fölött megáll, és nem jön lejjebb. Ez igazából bonyolultabb függvények esetében jó megoldás.