Hiba van a matematikában ezt más valaki is észre vette ?

Hát ilyet?! Néha még a majdnem 1 is egyenlő 1-el…

[link]

"ha A 10 et elosztom hárommal akkor az 3,33333333333♾️"

Nem, ha a 10-et elosztod 3-mal, akkor az eredmény 3⅓. Ha ezt tizedestörtként próbálod reprezentálni, akkor jön ki a fent említett végtelen tört (ami egyébként -- ahogy a 2. hozzászóló már megénekelte -- pontos számolás mellett szintén kiadja a várt eredményt).

Ennyi erővel a √2·√2 sem 2-t ad eredményül, mert ha számológépbe a √2 helyett nekiállsz beütni a tizedestörtes alakot, akkor soha nem fog kijönni a megfelelő eredmény.

Tehát nem a matematikában van a hiba, hanem te nem figyeltél, amikor magyarázták a törteket.

"Ennyi erővel a √2·√2 sem 2-t ad eredményül"[...]

A √2-t mint szám az ókori görögök még nem ismerték, a 3⅓ mint számot már ismerték, mivel a racionális számokat ismerték, az irracionálisakat viszont nem. Az egység oldalhosszúságú négyzet átlóinak hossza √2 egység, ehhez közeli számértékékeket ismertek, de azzal abszolút egyenlő számot nem ismertek, az későbbi matematikai felfedezés.

Nekünk annak idején (általánosban) a matek tanárnő azt mondta, hogy aki nem hiszi hogy a 9,99... = 10 az mondjon számot ami a kettő között van, határozza meg hogy a kettő között mekkora különbség van.

Senki nem tudott kettő közötti számot mondani, különbséget se tudott meghatározni ami 0-tól különbözne, nem azt mondom hogy nem voltak naiv próbálkozások.

Ez olyan, mint a kerekítési probléma, illetve számítógépes végtelenszámmal számolás problémája. A számológépek valahol egy határon vannak a számhosszúságaikkal és eleve nem tudnak mármekkora számmal számolni, mivel szoftverek.

Ha a 10-et elosztd hárommal, akkor az tényleg a végtelenig 3,33333333333♾️.

És nem tudja a szoftver a végtelenig számolni, tehát valahol véget ér a szoftverben a számsor. És abból számol vissza.

Példaként egy online számológépen ezt adta ki:

10 / 3 = 3.3333333333333333

És nem egy véget nem érő 3-as sort. Ha ebből szorzol vissza, az nyilván nem lehet kerek 10.

Nincs hiba a matematikában, a kérdés teljesen jogos és az eddig szereplő összes válasz vagy nem jó vagy annyira pongyola, hogy "nesze semmi, fogd meg jól". Arról van röviden szó, hogy (10-es számrendszerben) azoknak a racionális számoknak a tizedestört-reprezentációja, amelyek redukált tört alakjának nevezőjének kanonikus felbontásában csak a 2 és 5 prímszámok szerepelhetnek nemnulla kitevőn, nem egyértelmű, ugyanakkor pontosan ugyanazt a valós számot reprezentálják. Miért?

Maradjunk a te példádnál, a 0.9999...-nél. Tulajdonképpen ez egy végtelen sor: Σ9*(1/10^n), az összegzés 1-től fut. De ennek pontosan tudjuk az összegét: Σ9*(1/10^n)=9*(1/10/(1-1/10)=1. Tehát nem csak kábéra meg hablattyal, hanem precíz matematikával megmutattuk, hogy a 0,999... és az 1 ugyanazt a valós számot reprezentálja.

Néhány megjegyzés:

- ez a jelenség nem csak itt figyelhető meg, pontosan ugyanilyen logika mentén például 1,25499999...=1,255.

- ez a jelenség nem csak 10-es számrendszerben lép fel.

Illetve: még a fenti bizonyításba is bele lehetne két ponton is: egyrészt ennél az analízist használó bizonyításnál már egy az egyben használtam a valós számok axiomatikáját, igaz, rejtve, de használtam. A kérdés az, hogy jól használtam-e? A válasz az, hogy igen, de ez messzire vezető kérdés.

A másik pont, ami már inkább filozófiai természetű dolog, hogy hát... Azért egy sort meg egy számot ugyanannak az objektumnak tekinteni nem pont egy értelmes dolog. Erről azonban szó sincs. Azt tudom (axiomatikusan megindokolható módon), hogy az a valós szám, melyet a 0,999... reprezentál, a fönti sor összege (amennyiben létezik és létezik is).

Ezt a kérdést nagyon el szokták mosni általános- és középiskolában is, részben jogosan. Viszont a kérdés teljesen jogos.

Tehát a te feladatodban, amit felhoztál:

10/3=3,33333=3+0,33333=3+Σ3*(1/10^n)=3+1/3, amit 3-mal szorozva 9+1=10-et kapunk, tehát látjuk, hogy ilyen módon is összhangban van a 2 eredmény.

"Ez olyan, mint a kerekítési probléma, illetve számítógépes végtelenszámmal számolás problémája."

Az nem "végtelenszám", hanem végtelenül pontos számolás problémája.

"És nem tudja a szoftver a végtelenig számolni, tehát valahol véget ér a szoftverben a számsor. És abból számol vissza."

Mondhatni igen, de nem minden esetben igaz. Mivel vannak olyan szoftveres matemaikai függvénykönyvtárak melyek tudják történt számolni (lást például sympy), ekkor nincs numerikus közelítési hiba, egzaktul annyit számol mint amennyi matematikai értelemben.

Tudja értelem szerűen a fentebb említett √2-t is kezelni.

A matematikai háttere melyet egyetemeken oktatnak is a - Közelítő és szimbolikus számítások - kurzus név alatt fut.

Nem, nem hiba. Csak hozzászoktunk ahhoz, hogy az egész számok ábrázolása egyértelmű. Aztán jönnek a tizedestörtek. És bizony, az egész számok tizedestört alakja nem egyértelmű.

A 0,9... szám annak a sorozatnak a határértéke, hogy 0,9; 0,99; 0,999... Vagyis a 9/10; 99/100; 999/1000... határértéke.

Ha kivonjuk ezt a sorozatot a konstans egyből, akkor ezt kapjuk:

1/10; 1/100; 1/1000; ... ami nullához tart.

Egyszerűbben:

0,999...

10 * 0,999... = 9,999...

9,999... - 0,999... = 9

9 * 0,999... = 9

0,999... = 1

Egész pontosan. Nincs egy utolsó kilences a végtelenben, mert nincs végtelenedik tizedesjegy. Csak megadott sorszámú.

8/ "Az nem "végtelenszám", hanem végtelenül pontos számolás problémája."

Okés, rendben, csak egy hétköznapi módon írtam, nem vagyok egy nagy matematikus. :)

"Mondhatni igen, de nem minden esetben igaz. Mivel vannak olyan szoftveres..."

A kérdező szerintem nem olyanon számolt, gondolom az valami speckó matematikai cucc.

"Közelítő és szimbolikus számítások - kurzus név alatt fut."

Ebből meg úgysem érte semmit szerintem, mert itt két ismeretlen szakszó van csupán.

A lényeg szerintem konyhanyelven és szerintem így érdemes róla beszélni, hogy a 10 nem osztható kereken 3-al. A végtelen tizedeseket meg a gép neki nem fogja számolni és papíron sem tudja számolni.

Az osztás véges tizedesnél vissza is jön a szorzással. De egy 3-al nem véges tizedessel osztható számnál a visszaszorzásnál sem várható el a kerek 10.

A visszaszorzással semmi gond nincs! A nem kerek oszthatóság okozza a gondot és az a visszaszorzásnál csak megmarad!