Mi az R -> R polinomok számossága? És a nem polinomoké?

Polinomfüggvényből continuum sok van, mivel bármelyik együtthatója continuum féle lehet, ami az együtthatók véges számával szorozva szintén continuum, ami a lehetséges fokszámok megszámlálhatóan végtelen számával szorozva még mindig continuum.

Összes R -> R függvényből annyi van, mint a valós számok részhalmazaiból. Ez olyan módon jön ki, amit nem tanultál.

"Arra vagyok kíváncsi, hogy a valós függvényeknek van-e olyan részhalmaza, aminek a számossága c és 2^c, vagyis Beth-0 és Beth-1 között van."

Akkor miért nem ezt kérdezted?

Azt, hogy egy k végtelen számosság és 2^k között van-e más számosság, az ún. általánosított kontinuumhipotézis [GCH] árulhatja el nekünk. Ez éppen azt állítja, hogy nincs, csakhogy az általánosított kontinuumhipotézisről tudni kell, hogy nem levezethető a halmazelméletből, és a negáltja sem. Ezt a körülményt úgy nevezzük, hogy független tőle. Vagyis, ha GCH-t külön hozzávesszük az axiómákhoz, akkor nincs olyan valós függvényhalmaz, amely szigorúan nagyobb, mint c, de kisebb, mint 2^c; ha pedig nem vesszük hozzá, akkor a kérdés nem megválaszolható.

Ez az egész akkora közhely, hogy meg vagyok lepődve, hogy erről nem hallottál, de a Beth-függvényről igen.

Hozzáteszem, az, hogy c bármelyik beth-számmal megegyezik-e, szintén GCH függvénye, és elfogadásakor is Beth(1)-el lesz egyenlő, nem Beth(0)-val; 2^c pedig Beth(2)-vel.