A polinomok vektorterében alteret alkotnak e a következők?

Az altérnek:

* eleme a 0, azaz az azonosan 0.

* zárt az összeadásra

* zárt a konstanssal való szorzásra.

Ezeket a kritériumokat kell ellenőrizni.

Már csak az a kérdés, hogy az azonosan nulla polinom foka -1, azaz páratlan, vagy 0, azaz páros. A konstanssal szorzás általában nem változtat a fokszámon. De mi a helyzet a nullával?

[link]

8. oldal alján a definíció. Eszerint azt kell megnézni, hogy összegük ugyanolyan "fajtájú" lesz-e, mint amivel számoltunk, illetve ha tetszőleges skalárral szorzunk, akkor is megmarad a tulajdonság.

Triviálisan mindegyiket 0-val szorozva kijutunk a halmazból, mivel az eredmény mindig a nullapolinom lesz, a nullapolinomnak pedig nincs fokszáma, és az x=1 helyen 0-t vesz fel. Ha ezt nem számítjuk (vagy ha belevesszük a halmazban, mint ahogyan a .pdf példafeladataiban is van), akkor

-ha összeadsz két páros fokszámú polinomot, akkor az eredmény nem feltétlenül lesz páros fokszámú, például ha vesszük az x^2 és a -x^2+x polinomokat, akkor összegük x lesz, ami páratlan fokszámú, tehát itt nem lesz altér.

-hasonló módon a páratlan fokszámú polinomok összege páros is lehet, tehát itt sem kapunk alteret.

-ha p(x) és q(x) két polinom, ahol p(1)=1 és q(1)=1, akkor az r(x)=p(x)+q(x) polinom esetén r(1)=p(1)+q(1)=1+1=2, tehát itt is kiesünk a keretből.

Tehát ezek egyike sem fog alteret alkotni.

"Már csak az a kérdés, hogy az azonosan nulla polinom foka -1, azaz páratlan, vagy 0, azaz páros."

A nullapolinom foka a polinom fokának definíciója szerint nem lehet 0 (az a^n+b^(n-1)+... polinom foka n, ha a=/=0, a nullapolinomnál mindegyik együttható 0), a -1-es fokszámról még nem hallottam, attól még lehet, de kétlem, ugyanis tudjuk, hogy minden polinomnak pontosan annyi komplex gyöke van, amennyi a polinom fokszáma, már pedig a nullapolinomnak végtelen sok gyöke.

A feladat szempontjából azonban lényegtelen, mert más okokból sem lesz altér.

> „azok a polinomok melyek értéke az 1 helyen 1”

Lineáris alteret nem, viszont affin alteret (egy lineáris altér eltoltját) alkotnak.

(Természetesen a helyes válasz a kérdésre az, hogy nem alkot alteret.)