Hogyan kell egész együtthatós, irreducibilis polinomokat keresni megadott gyökökkel?

Akkor már nem irreducibilis, ha van gyöke.

A második kérdésre pedig, egyszerűen keress gyököket az adott halmazon.

1; egyik polinom sem irreducibilis, mert mindegyiknek pontosan annyi gyöke van, amennyi a fokszáma... Polinom csak adott számhalmazon tud irreducibilis lenni.

Ha olyan valós együtthatós kell, aminek a gyöke gyök(2)+i, akkor például a Viéte-formulákban érdemes gondolkozni; ha hozzávesszük a gyök(2)-i gyököt, akkor összegük 2*gyök(2), szorzatuk 3, így már nem nehéz kitalálni a;b;c értékeit.

A másik kérdésedre a válasz a racionális gyökteszt, más néve Rolle-féle gyöktétel, ami azt mondja ki, hogy ha a gyök p/q alakú, ahol p és q is egészek, akkor p osztója a konstans együtthatónak, q pedig osztója a főegyütthatónak, tehát

p lehetséges értékei: -3; -1; 1; 3

q lehetséges értékei: -1 ; 1,

ezeket a lehető összes módon összepárosítod, elosztod egymással őket (p/q), és az így kapott számok a polinom lehetséges gyökei. Ha ezek közül egyik szám sem gyöke, akkor a polinomnak nincs racionális gyöke, így irreducibilis Q és Z felett.

Igazad van, ott nem. Arra van egy olyan, hogy Schönemann-Eisenstein-kritérium. Az se egy túl bonyolult valami, cserpbe megmo dja, hogy egész együtthatós polinom irreducibilis-e (azt nem mondja meg, hogy hogy lehet felbontani, csak azt, hogy lehet-e, legalábbis az egész számok halmazán).

Meg biztos vannak még egyéb, bonyolultabb tesztek is, érdemes utánanézni a lehetőségeknek.

Akkor reducibilis. A nehezebb kérdés az, hogy hogyan.

Ha más ötletünk nincs, akkor azt tudjuk, hogy két másodfokúra lehet bontani, legyenek ezek ax^2+bx+c és dx^2+ex+f, ekkor ezek szorzata kell, hogy legyen az eredeti, vagyis

x^4-7x-3 = (ax^2+bx+c)*(dx^2+ex+f), kibontod a zárójelet, kapsz egy paraméteres egyenletrendszert, amit meg kell oldani. A saját életünkön még annyit tudunk segíteni, hgy mivel a főegyüttható 1, ezért a=d=1, így már csak 4 paraméter van.

Igazad van, erre nem emlékeztem.

Igazából a Schönemann-Eisenstein csak egy előzetes teszt, hogy ne kelljen végigszenvedni fölöslegesen a racionális gyöktesztet.

Viszont az a megoldási mód mindenképp használható, amit fent írtam;

x^4-7x-3 = (x^2+bx+c)*(x^2+ex+f), kibontjuk a zárójelet:

x^4-7x-3 = x^4 + ex^3 + fx^2 + bx^3 + bex^2 + bfx + cx^2 + cex + cf, összevonunk:

x^4-7x-3 = x^4 + (e+b)*x^3 + (f+be+c)*x^2 + (bf+ce)x + cf

Két polinom akkor egyenlő, hogyha együtthatóik megegyeznek, vagyis

1 = 1, ez igaz

0 = e+b

0 = f+be+c

-7 = bf+ce

-3 = cf

Ezt az egyenletrendszer kell megoldani. Én most megspóroltam a számolást, és beírtam WolframAlphába (az "e" helyére "a-"t írtam, mert az e-t Euler-számnak vette):

[link]

Ez azt írja, hogy csak irracionális megoldások vannak, tehát valóban irreducibilis Q fölött.