Mi a végtelen?

A végtelen megértése elég nagy absztrakciós készséget jelent. De röviden: A végtelen a véges ellentéte.

Induljunk ki egy számegyenesből, amin csak természetes számok vannak. A 3 véges szám, hiszen a számegyenesen el tudunk jutni idáig, 1, 2, 3 és már ott is vagyunk. A 3 után nincs következő lépés, amit meg kellene tenni, a 3-nál nem nagyobb számok közül a a 3 a legnagyobb. Magyarán a véges azt jelenti, hogy elméleti szinten el tudunk jutni addig a számig, tudjuk mikor járunk félúton, mikor vagyunk 3 lépés távolságra stb…

A végtelen ennek az ellentéte. Pl. a természetes számokból megszámolhatóan végtelen van. Nincs olyan természetes szám, aminél megállhatnánk, hogy „íme, hát eljutottunk a természetes számok végére, nincs több szám”. Bármeddig is jutsz el, vannak még további természetes számok, bármilyen nagy számot mondasz, létezik nála nagyobb szám.

Aztán lehet cizellálni a képet, a határérték számításnál pl. a végtelen azt jelenti, hogy bármely véges értéknél nagyobb. A halmazelméletben viszont többféle végtelen létezik, amik ugyanúgy nem végesek, mégis eltérő számosságúak…

~ ~ ~

A végtelent sokan egy nagyon nagy számnak próbálják elképzelni. Hibás megközelítés. Akármilyen nagy – az egyszerűség kedvéért természetes – számot is próbálsz elképzelni, kreálni, végtelenszer több ennél nagyobb természetes szám van, mint ennél kisebb.

Pl. néha fel szokták tenni a kérdést, hogy mi a π utolsó számjegye. A π végtelen tizedes tört, tehát a tizedesvessző után végtelen sok számjegy következik. Végtelen, magyarán nincs vége a számjegyek sorának, így nincs utolsó számjegye.

A végtelen nem egy szám. Pl. számos olyan tulajdonság értelmetlen a végtelen fogalmára, ami egy véges szám esetén értelmezhető. Pl. a végtelen nem páros, és nem páratlan, de mégis lehet páros és páratlan is. Egyszerűen önmagában a végtelenre nem értelmezhető tulajdonság a párosság, maximum akkor, ha tudjuk, hogy a végtelen minek a következtében állt elő. Pl. ha a páros számokat adjuk össze, akkor végtelent kapunk, de ez a végtelen nyilván páros „jellegű”. Viszont a végtelen annyiban mégis hasonlít a számokhoz, hogy értelmezhetőek rajta bizonyos műveletek. Pl.:

∞ + 1 = ∞

∞ + n = ∞

∞ + ∞ = ∞

∞ - 1 = ∞

∞ - n = ∞

∞ * 2 = ∞

∞ * n = ∞

∞ * ∞ = ∞

∞ / 2 = ∞

∞ / n = ∞

De néhány művelet esetén az eredmény nem értelmezhető:

∞ - ∞ = ?

∞ / ∞ = ?

Pl. ha van egy végtelen hosszú lépcsőd, akkor soha nem érsz a végére. Teljesen mindegy, hogy a földszintről indulsz, a pincéből (∞-1), vagy a nyolcadik emeletről (∞+8), attól még végtelen hosszú út áll előtted. Az is mindegy, hogy egyesével lépkedsz, kettőt előre, egyet hátra módszerrel (∞*2), vagy hármasával szeded a lépcsőfokokat (∞/3), akkor is végtelen út áll előtted.

A végtelennek további érdekes tulajdonságai vannak. Lásd: [link]

A végtelen egy matematikai fogalom, amit azért alkottak meg, mert a világ egy bizonyos tulajdonságát nem akarták mindig sok szóval körülírni.

A végtelen a véges ellentéte (valójában nem ez a jó szó, de a hétköznapokban így mondjuk). Véges,van vége. Végtelen, nincs vége.

Ha a véges és a végtelen számok tulajdonságát írja le (sok mást is lehet jellemezni velük), akkor a véges számhoz mindig el lehet jutni konkrétan számlálással. Valamilyen rend szerint (mondjuk nagyságrend szerint) sorra vesszük a számokat, és előbb utóbb elérjük. Fontos tulajdonsága a végesnek, hogy "utána" is van szám. Például az előbbi sorban a mi véges számunk után is van szám,mégpedig sok. A végtelenhez így nem lehet eljutni. Akármeddig megyünk, mindig véges számhoz érünk, ami után van másik. Ez a "nem lehet eljutni" adja meg a végtelen magyarázatát (definícióját).

A végtelen nem szám, hanem annak kiterjesztése. Az jellemző rá, hogy egy olyan érték, aminél nem lehet nagyobbat mondani, "utána" már nincsen nagyobb szám. Minden létező véges szám, amit megadunk, kisebb a végtelennél.

Ha bonyolultabb végtelent akarunk, ahhoz - mint az előbb - kell egy rend. Mondjuk pontokat, függvényeket, égitesteket, bármit vizsgálhatunk, csak előbb ki kell találni valami módszert, amivel sorba rakjuk őket, hogy meg tudjuk különböztetni az egyes elemeket. Ezután megpróbáljuk sorba rakni ezeket. Ekkor két eset lesz. Vagy sikerül vagy nem.

Ha sikerül, akkor ezzel a módszerrel meg is tudjuk számlálni őket, vagyis minden elemhez hozzárendelhetünk egy egész számot. Ha véges számmal az összeset sorra vettük, akkor ez a dolog véges. Ha viszont mindig találunk újabbat, akkor végtelen. De megszámlálható, mert sorba tudtuk rakni.

Ha viszont az következik be, hogy nem tudjuk sorba rakni, akkor az megszámlálhatatlan. Ráadásul több, mint az előbbi végtelen. Ennek is sokféle tulajdonsága van,de ez már kicsit több magyarázatot igényel, egyetemeken szoktak foglalkozni vele.

Tehát azt láttuk, hogy a végtelen nem egy dolog, hanem sokféle. Vagyis nem úgy van,hogy van egy csomó szám, meg a végtelen, hanem sokféle végtelen van. Csak megemlítem,sokkal többféle, mint ahány szám van. És hogy mi a fenének mindez? Hétköznapi embernek semmi szüksége rá a hétköznapi életben. A tudományban azonban segítségével olyan új rendszerezéseket lehet elvégezni, amelyből például, hogy hézagos a rendszer,vagy éppen más probléma van vele. Amikor elkezdik keresni, hogy ez mitől van, akkor általában akkor általában olyasmit találnak, amiért többnyire Nobel díjat szoktak osztogatni, és amitől az ember élete alapvetően változik meg (hogy jó vagy rossz irányba, az attól függ, az ember mire használja).

Példák:

Az összes egész szám végtelen számosságú. Ez a "legkisebb" végtelen. Ez egy olyan "érték", aminél nincsen nagyobb a számok között.

A számegyenes pontokból áll. Kijelölhetünk egy speciális pontot közülük, elnevezzük nullának, és a többi pontot az ettől való távolságával jellemezzük. Ha alaposabban megvizsgáljuk, könnyen kiderül, hogy ilyen pont sokkal több van, mint egész szám. Így annyi biztos, hogy ezek is végtelen sokan vannak, de mivel sehogy se tudjuk megszámolni őket, az gyanítható, ez a végtelen nagyobb az előbbinél. És megfelelő matematikai eszközökkel ez be is bizonyítható.

Most vegyünk egy kockát. Egyik oldalát nyújtsuk meg, lesz téglatest. Csapjunk rá jó nagyot, belapul, romboid lesz. Vegyük az összes létező szabályos testet. Itt a sorbarakás még lehetetlenebb, és ha az előbbi pontokkal próbáljuk párba állítani, sejthető, ez még több. És valóban,be lehet bizonyítani,hogy ez a végtelen az előbbinél nagyobb végtelen.

Tegyük hozzá az összes többi testet is, tehát a szabálytalanokat. Itt már csak megemlíthetem, ez az előbbinél is nagyobb végtelen.

A matematikai tudás határozza meg, meddig mehetünk el ebben. Annyit még hozzátennék, ezek a végtelenek mind más minőségűek, nem arról van szó, hogy mondjuk az első végtelennek a százszorosa. Hanem végtelenszerese, és ez egy új minőség. És bizony, az itt említett harmadik fajta végtelen meg a második fajtánál végtelenszer több. És ezt bármeddig lehet folytatni, hamarosan a főprobléma az lesz, milyen nevet adjunk neki (semmilyent, leírjuk, miképpen keletkezik).

Egy kis kiegészítés az előző két válaszhoz.

Hogyan lehet összehasonlítani két végtelen elemszámú halmazt? Mindkettő végtelen sok elemet tartalmaz, akkor hogyan is hasonlíthatnánk össze két végtelent? A trükk az, hogy próbáljuk meg a két halmaz elemeit egymással párba állítani. (Egzakt módon kifejezve próbáljunk a két halmaz elemei között bijektív – kölcsönösen egyértelmű – leképezést felírni.) azaz A halmaz minden egyes eleméhez társítsunk hozzá a B halmazból egy és pontosan egy elemet és viszont. Ha ez sikerül, akkor a két halmaz számossága azonos.

Pl. miből van több? Természetes számból (1, 2, 3, 4, 5, 6, …), vagy páros természetes számból (2, 4, 6, 8, …)? Az ember naivan azt mondaná, hogy nyilván páros számból fele annyi van, mint természetes számból. De nem… Ugyanis a két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést tudunk létrehozni. Egy természetes számnak legyen a párja a páros számok halmazában a szám duplája (n → 2n), a páros számok halmazából meg minden elemnek legyen a párja a természetes számok halmazán a szám fele ( n → n/2). Így a két halmaz mindegyik eleméhez pontosan egy elem tartozik a másik halmazból, és mindegyik elemnek van párja. Tehát a két halmaz számossága megegyezik. De van olyan végtelen, ami ettől különbözik?

Georg Cantor sokat foglalkozott a végtelennel, ő mutatott rá, hogy a valós számok halmazának számossága nagyobb, mint a természetes számok halmazának számossága. A bizonyítása amennyire nagyszerű, annyira egyszerű is. Soroljuk fel azokat a valós számokat, amikre igaz, hogy 0≤n<1. A felsorolás egyben kölcsönösen egyértelmű leképezés a természetes számokkal, hiszen egy valós számhoz a sorszáma tartozik, a sorszámhoz – mint természetes számhoz – meg a felsorolásban az adott valós szám. Pl.:

1. valós szám: 0,123123123…

2. valós szám: 0,601201138…

3. valós szám: 0,141592653…

4. valós szám: 0,001002003…

5. valós szám: 0,000000007…

6. valós szám: 0,123456789…

…

Oké. Most vegyük az első valós szám első tizedesjegyét. Ha ez 0, akkor írjunk egy 1-est, ha nem 0, akkor írjunk helyette 0-t. A második valós számnál vegyük a második számjegyet és szintén járjunk el hasonlóan. Stb… Kapunk egy valós számot. Esetünkben pl.:

0,010110…

Ez az első valós számhoz képest legalább egy számjegyben különbözni fog, mégpedig az első számjegyben. Ha az 1. számban az 1. számjegy 0-ás, akkor a kreált számunkban ott 1-es szerepel. Ha nem 0-ás, akkor a kreált számunkban 0 szerepel. A második számhoz képest is különbözik a kreált számunk legalább a második számjegyben, stb…

Így kaptunk egy olyan számot, ami biztos, hogy nem szerepel a felsorolásban, hiszen bármelyik számtól legalább egy számjegyben eltérő. Tehát bár minden természetes számhoz (sorszámhoz) tartozik pontosan egy valós szám, ehhez a kreált számhoz nem tartozik sorszám, nem tartozik hozzá természetes szám. Sőt belátható, hogy végtelen sok ilyen szám kreálható.

A bizonyítás szépsége abban áll, hogy teljesen mindegy, hogy milyen módszert véltünk (!) találni a 0 és 1 közötti valós számok felsorolásában, az a felsorolás biztos, hogy nem teljes.

Lásd: [link]

Így kimondható, hogy a 0 és 1 közötti valós számok számossága nagyobb, mint a természetes számok számossága. A természetes számok számosságát ℵ₀-lal jelöljük – alef null – és szoktuk megszámlálhatóan végtelennek is nevezni. A valós számok halmazának számosságát meg ℶ₁-gyel jelöljük – bet egy –, és kontinuum számosságnak is szoktunk nevezni.

~ ~ ~

Aztán felmerült kérdésként, hogy mi a helyzet a racionális számok számosságával. Ezek ugye felírható két egész szám hányadosaként. Szintén Cantor írt fel egy módszert arra, hogy ezeket hogyan lehet megfeleltetni a természetes számok számosságával. Tehát „ugyanannyi” racionális szám van, mint természetes szám.

~ ~ ~

Aztán ott a kontinuumhipotézis. Ugye van a természetes számok számossága (megszámlálhatóan végtelen, ℵ₀), meg ott a valós számok számossága (kontinuum számosság, ℶ₁). Tudjuk, hogy ℵ₀ ≤ ℶ₁. De van a kettő kötött számosság? ℵ₁ = ℶ₁? Vagy ℵ₁ < ℶ₁? A hipotézis úgy szól, hogy a valós számok minden részhalmaza vagy véges számosságú, vagy a természetes számok halmazának számosságával azonos, vagy a valós számok halmazának számosságával. Azaz a sejtés az volt, hogy ℵ₁ = ℶ₁.

És itt jön a matematika egy érdekessége, ugyanis sikerült egyik oldalról igazolni, hogy ez a kontinuumhipotézis nem bizonyítható, másik oldalról meg azt is sikerült bizonyítani, hogy ez az állítás nem cáfolható. Nyilván vagy igaz a hipotézis, vagy nem, de ezt nem lehet a matematika adott axiómarendszerén belül igazolni.

Korrigálás:

"Viszont a végtelen annyiban mégis hasonlít a számokhoz, hogy értelmezhetőek rajta bizonyos műveletek. Pl.:"

Ez csak a megfelelő kiterjesztésekkel. Alapból nem végezhetők rajta műveletek, a ∞ egy szimbólum.

Határérték számításnál azt mondjuk hogy olyan alakú például ∞ / ∞ alakú. Például lim n → ∞ n/(n^2) . (Hiszen n is a végtelenbe tart meg annak négyzete is.) Ami adott konkrét esettől függ hogy mennyi, ez esetben 0. Ugyanúgy ∞ - ∞ alakú kifejezésnél is lehet bármi, általánosan nem igaz rá semmi konkrétum. Ha a határértékes kifejezés például ∞ * ∞ alakú akkor a határérték csak ∞ lehet. Ha a kifejezés ∞ / 2 alakú akkor a határértéke csak ∞ lehet és így tovább.

Ez ∞ * n = ∞ és ∞ / n = ∞ ez nem igaz, csak ha n pozitív. Ha negatív akkor -∞, ha n=0 akkor megint konkrét esettől függ.

Továbbá olyan aritmetika is létezik ahol elemként szerepel a ∞. Ahol a ∞ + 1 = ∞ , ∞ + ∞ = ∞ ... stb. triviális esetek. Az ilyenek amit "nem tudsz hova rakni" ∞ - ∞, 0 * ∞, ∞ / ∞ pedig a NaN (Not a Number) értéket veszik fel. Ahol NaN + bármi = NaN (a bármi +∞ vagy -∞ is lehet), de nem csak összeadásra igaz ott.

"És itt jön a matematika egy érdekessége, ugyanis sikerült egyik oldalról igazolni, hogy ez a kontinuumhipotézis nem bizonyítható, másik oldalról meg azt is sikerült bizonyítani, hogy ez az állítás nem cáfolható. Nyilván vagy igaz a hipotézis, vagy nem, de ezt nem lehet a matematika adott axiómarendszerén belül igazolni."

Axiómaként berakhatod egy axiómarendszerbe hogy igaz a kontinuumhipotézis, ekkor kapsz egy világot melyben igaz. Továbbá axiómaként berakhatod egy (másik) axiómarendszerbe hogy hamis a kontinuumhipotézis, ekkor kapsz egy másik világot.

Ez egy nagyon érdekes halmazelméleti dolog hogy egyik axiómarendszerbe létezik olyan halmaz ami a másikba nem létezik méghozzá hogy megszámlálhatóan végtelen és kontinuum végtelen számosság közötti számosságú halmaz. Példát nem lehet rá mondani, mert akkor az direktbe cáfolná a kontinuumhipotézist, de mégis tudjuk hogy ott létezik.

Szó volt a ℵ₀ azaz megszámlálhatóan végtelenről, a ℵ₁ azaz kontinuum végtelenről. A ℵ₁ magasabb rendű végtelen mint ℵ₀ . Vajon van e még magasabb rendű végtelen ℵ₁ is ? Van. Méghozzá ezen végtelen számosságoknak rendszáma van, de az üres halmaztól kezdve hogy 1 darab eleme van, 2 darab eleme van stb. Mind mind van rendszáma.

A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk:

- Üres halmaz rendszáma a nulla.

- Ha a halmaznak létezik legnagyobb eleme melyet jelöljünk β-val akkor ennek rendszáma β rákövetekzője.

- Egyébként limeszrendszám.

Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az ω.

Halmazelméleti rendszámokból annyira végtelen sok van hogy nincs halmaz ami ezt befogadná.

Aztán még ott van egy modern 20.-ik századi matematika a szürreális számok melyekből szintén annyira sok van hogy túl nagy ahhoz azok sokasága, hogy halmazt alkothasson. Tartalmazza a valós számokat és tartalmaz végtelen és infinitezimális (végtelenül kicsi) mennyiségeket is. Azt hinné az ember hogy a valós számok abszolút teljesen hézagmentesen kitöltik a számegyenest. Bármely valós szám közelében olyan szürreális számok vannak melyek közelebb vannak hozzá bármely valós számnál. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk. Na ebben vannak olyan számok is melyek nagyobbak bármelyik valós számnál meg ezeknél is vannak még nagyobbak.