Mi lesz a határértéke a következő függvénynek, ha x tart a végtelenbe? A függvény: (négyzetgyök alatt x^2+x+1 + négyzetgyök alatt x^2-x+1)

x^2+x+1 a végtelenhez tart, ez szerintem egyértelmű.

x^2 - x + 1 is a végtelenhez tart, hiszen x^2 gyorsabban nő, mint az x.

Másként megmutatva: x^2 - x + 1 = (x-1)^2 + x --> látszik, hogy a végtelenhez tart.

Na most, ha valami f(x) a végtelenhez tart, akkor négyzetgyök(f(x)) is oda fog tartani.

És végül végtelen + végtelen = végtelen.

A baj akkor lenne, ha végtelen - végtelen vagy végtelen/végtelen lenne, mert arról nem lehet ilyen egyértelműen kijelenteni semmit.

Végtelen

[link]

A másodfokú függvény felírható (x+a)^2+b alakban is, ahol a és b a megfelelő konstansok.

Ezután gyök((x+a)^2+b) > gyök((x+a)^2) = x+a, amelyről tudjuk, hogy a végtelenbe tart függetlenül a konstans értékétől.

Másik megoldás; próbáljuk a függvényeket alulról becsülni;

gyök(x^2+x+1) <= gyök(x^2) <= |x|

gyök(x^2-x+1) <= gyök(x^2-x) = gyök(x*(x-1)) <= gyök((x-1)*(x-1)) = gyök((x-1)^2) = |x-1|

Tehát az eredeti függvény alulról becsülhető (egy bizonyos x-től kezdve, amit nem nehéz kiszámolni) az |x|+|x-1| függvénnyel. Mivel x->végtelen, ezért x biztosan nagyobb 1-nél, tehát az ||-ek elhagyhatóak, így marad x+x-1=2x-1, ez pedig igencsak végtelenhez tart a végtelenben.

Mivel egy kisebb függvény végtelenhez tart, ezért az eredeti is végtelenhez tart.

A gond valószínűleg abból adódik, hogy a

"lim 1/x= végtelen"

nem igaz. Sokkal inkább 0 ennek a határértéknek az értéke (ha x->végtelen), nem pedig végtelen.

Valóban, úgy is meg lehet oldani.

A kifejezést elosztjuk x-szel, aztán persze megszorozzuk, hogy ne változzon a kifejezés:

x * (gyök(x^2+x+1)+gyök(x^2-x+1))/x, ezután a /x-et bevisszük a gyökjel alá a gyökvonás megfelelő azonosságának segítségével, majd elvégezzük az osztásokat:

x * (gyök(1 + 1/x + 1/x^2) + gyök(1 - x/1 + 1/x^2))

Mivel lim 1/x = 0, ezért a történet így egyszerűsödik:

x * (gyök(1)+gyök(1)) = x*(1+1)= x*2 = 2x, a 2x pedig igencsak végtelenhez tart a végtelenben, ezért az eredeti is.