Talán végtelen sok van, de bizonyítható-e, hogy van legalább egy?

Hát most nagyon röviden a sejtésem az, hogy nem bizonyítható az állítás. Nyilván az embernek jogosnak tűnik az a sejtése, hogy valóban végtelen sok olyan prímszám van, aminek a számjegyeinek az összege 1 milliárd, de bizonyítani… Ahhoz kellene valamiféle algoritmus, ami alapján pusztán a számjegyekből lehetne vizsgálni azt, hogy egy szám prím-e vagy sem, vagy olyan algoritmus, amivel bizonyos paraméterek esetén prímszám generálható. Ilyenről nem tudunk.

Fordítva működhet a dolog, ugye ha egy szám számjegyeinek összege 3-mal osztható, akkor maga a szám is osztható 3-mal, így nyilván nincs olyan prím, aminek a számjegyeinek az összege 999 999 999. De a 3-mal való oszthatóság esetén csak annyit tudunk mondani, hogy a te prímszámod 3-mal osztva biztosan 1-et ad maradékul, így nem osztható hárommal.

Bizonyos esetekben eldönthető, hogy NEM prím; ha a számjegyek összege 1 millárd, attól még a 11-gyel való oszthatóság teljesülhet rá.

Ha több olyan oszthatósági szabály lenne (bár lehet, de én nem tudok róluk), ami a számjegyek valamilyen összegét veszi alapul, akkor több esetet ki lehetne zárni, általánosságban viszont ennyivel kell beérnünk.

> Ha több olyan oszthatósági szabály lenne (bár lehet, de én nem tudok róluk), ami a számjegyek valamilyen összegét veszi alapul, akkor több esetet ki lehetne zárni

A gond ezzel az, hogy ezek az oszthatósági szabályok, amelyek a számjegyek összegén alapulnak, csak bizonyos jellegű számok esetén működnek. A 9-cel való oszthatóság azért tud működni, mert 9=10-1. Így ha növelek egy számot 9-cel, akkor ha 0 az utolsó számjegy, akkor 9-cel nő a számjegyek összege, vagy ha nem 0 az utolsó számjegy, akkor az utolsó számjegy csökken eggyel, viszont a következő számjegy nő eggyel. A 11-gyel való oszthatóságnál szintén azért tud működni a dolog, mert 10-től 1 távolságra van a 11. A 3-mal való oszthatóság meg kvázi a 9-cel való oszthatóságra vezethető vissza.

Más számrendszerben hasonlóak az oszthatósági szabályok. Pl. egy 16-os számrendszerben a 15-tel és a 17-tel való oszthatóság szabálya nagyon hasonló a 10-es számrendszerben a 9-cel, illetve 11-gyel való oszthatóság szabályához.

Viszont a többi számmal való oszthatóság esetén önmagában a számjegyek összegéből nem sok derül ki.

~ ~ ~

A probléma ugye az, hogy akkor tudjuk bizonyítani a kérdéses állítást, ha valahogy kreálni tudnánk egy olyan prímet, aminek a számjegyeinek az összege 1 milliárd. Ha lenne ilyen módszer, akkor nem 2^82589933-1 lett volna 2018 óta a legnagyobb ismert prímszám – 24 862 048 számjeggyel –, hanem egy ennél nyilvánvalóan jóval nagyobb prím. Hiszen egy egymilliárd számjegyű szám minimum 111 111 111 számjegyből áll (ha minden számjegyek 9-es). Ennél csak nagyobb számok vannak, amiknek a számjegyeinek az összege egymilliárd lenne.