Miért jó a Cantor axioma és az Archimédészi axioma?

Ha a Cantor axiómát elhagynád (pontosabban, ha a tagadását veszed a többi axiómához),

akkor a racionális számokat kapod.

Jogos kérdés hogy "miért jó" de általában semmilyen válasz nem adható rá. Más axiómák, más számhalmazok, más összefüggések, más tételek. A racionális számok pl annyival jobbak, hogy szerkesztetők, kiszámíthatók, véges tárhelyen megnevezhetők. A valós számok meg mondjuk annyival, hogy lehet gyököt vonni a 2-ből. Sokat használják a fizikában, meg a mérnökök is a valós számokat.

A Cantor-axiómából következik, hogy "vannak" irracionális számok, mivel tudsz olyan egymásba skatulyázott nyílt intervallumsorozatot alkotni, amelyek végpontjai racionálisak, és nincs racionális közös elemük.

Ha jól gondolom, az Arkhimédeszi axióma lényegében azt biztosítja, hogy a valós számok halmazának nincs legnagyobb eleme.

A Cantor-axióma helyett vehetsz másik axiómát is, ekkor helyette Cantor-tétel lesz, és bizonyítható. A haszna, hogy szigorúan monoton sorozatpárokkal definiálni tudod a valós számokat. Plusz néhány numerikus matematikai tétel is hivatkozik rá.

Az Arkhimédeszi axióma szerepe is hasonló, ez tulajdonképpen a valós számok rendezésében nyújt segítséget, aminek révén a valós számhalmaz az elvárt tulajdonságokkal rendelkezik, hogy test lehessen.

Az elhagyásuk értelemszerűen a felépítés lehetetlenségét vonná magával. Ha viszont helyettük egy másik axiómát teszel be, amikből levezethetőek, akkor már semmi probléma. Például a Zermelo-Frenkel-féle halmazelméletben ez már a Cantor-féle közösrész-tétel néven keresendő, és a kiválasztási axiómából levezethető. Következménye pedig a jólrendezési tétel.

Tehát nem azt mondtad hogy a Cantor axióma következik a Kiválasztási axiómából, csak azt, hogy a Kiválasztási axióma esetén az egy tétel.

Hát jól van.

Ügyes vagy, jár a keksz, meg a simi :)

Külön bónusz, hogy nem ezt írod a wikin, és persze az is full marhaság.