Szabályos háromszögnek hogyan számolom ki a másodrendű nyomatékát a háromszög középpontjára nézve?

Kell: J = iint(r^2, ahol r a súlypontból a háromszög területére mutató vektor),

vagy máshogy J = int(r^2*dA), ahol a tartomány a szabályos háromszög.

Vegyünk fel egy Descartes-féle koordináta-rendszert, aminek az origója a háromszög súlypontja, és az x tengelye a háromszög egy szimmetriatengelye (és a háromszög egy csúcsa van az x > 0 félsíkon). Ebben r^2 = x^2 + y^2, és a háromszög oldalegyeneseinek egyenletei az

x = –gyök(3)*a/6,

y = –1/2*(x – gyök(3)*a/3),

y = +1/2*(x – gyök(3)*a/3).

Ezenkívül, mivel a háromszög szimmetrikus az x tengelyre, ezért elég az y > 0 tartományban integrálni, majd szorozni az eredményt 2-vel. Ezt úgy fogjuk csinálni, hogy az x minden –gyök(3)*a/6 és +gyök(3)*a/3 értékére végigpásztázunk az x tengely és a felső oldalegyenes között. Szóval

J = 2*int(int(x^2 + y^2, y = 0..–1/2*(x – gyök(3)*a/3)), x = –gyök(3)*a/6..gyök(3)*a/3).

A belső integrál y szerint megy, és egy a primitív függvénye az x^2*y + y^3/3, az alsó határnál ez 0, ezért a felsőnél éppen az integrál értéke

–x^2*(x – gyök(3)*a/3)/2 – (x – gyök(3)*a/3)^3/24 =

= –13/24*x^3 + 5*a/(8*gyök(3))*x^2 – a^2/24*x + a^3/(72*gyök(3)).

J = 2*int(–13/24*x^3 + 5*a/(8*gyök(3))*x^2 – a^2/24*x + a^3/(72*gyök(3)), x = –gyök(3)*a/6..gyök(3)*a/3) =

J = 2*Δ(–13/96*x^4 + 5*a/(24*gyök(3))*x^3 – a^2/48*x^2 + a^3/(72*gyök(3))*x, x = –gyök(3)*a/6..gyök(3)*a/3) =

J = 2*(–13/96*(gyök(3)*a/3)^4 + 5*a/(24*gyök(3))*(gyök(3)*a/3)^3 – a^2/48*(gyök(3)*a/3)^2 + a^3/(72*gyök(3))*gyök(3)*a/3 +

+ 13/96*(gyök(3)*a/6)^4 + 5*a/(24*gyök(3))*(gyök(3)*a/6)^3 + a^2/48*(gyök(3)*a/6)^2 + a^3/(72*gyök(3))*gyök(3)*a/6) =

J = 2*a^4*(5/864 + 109/13 824) = 7*a^4/256.

De tuti elrontottam, szóval nézd át.

No, még egyszer…

Vegyünk fel egy Descartes-féle koordináta-rendszert, aminek az origója a háromszög súlypontja, és az x tengelye a háromszög egy szimmetriatengelye (és a háromszög egy csúcsa van az x > 0 félsíkon). Ebben r^2 = x^2 + y^2, és a háromszög oldalegyeneseinek egyenletei az

x = –a/gyök(12),

y = ±(a – gyök(3)*x)/3.

Most úgy fogunk integrálni, hogy először y szerint végig megyünk a háromszög határai között tetszőleges x-re, tehát ±(a – gyök(3)*x)/3, majd x-szel megyünk el a háromszög –a/gyök(12)-nél levő határától az a/gyök(3)-nál levő csúcsáig. Szóval…

Bevezetve a b(x) = (a – gyök(3)*x)/3 jelölést

J = int(int(x^2 + y^2, y = –b(x)..b(x)), x = –a/gyök(12)..a/gyök(3)) =

J = int(Δ(x^2*y + y^3/3, y = –b(x)..b(x)), x = –a/gyök(12)..a/gyök(3)).

Mivel y és y^3 is páratlan függvények, ezért a Δ egyszerűen a felső határnál vett érték duplája:

J = int(2*x^2*b(x) + 2*b(x)^3/3, x = –a/gyök(12)..a/gyök(3)) =

J = int(2*x^2*a/3 – 2*gyök(3)*x^3/3 + 2*a^3/81 – 2*gyök(3)*a^2*x/27 + 6*a*x^2/27 – 6*gyök(3)*x^3/81, x = –a/gyök(12)..a/gyök(3)) =

J = int(2*a^3 – 6*gyök(3)*a^2*x + 72*a*x^2 – 60*gyök(3)*x^3, x = –a/gyök(12)..a/gyök(3))/81 =

J = Δ(2*a^3*x – 3*gyök(3)*a^2*x^2 + 24*a*x^3 – 15*gyök(3)*x^4, x = –a/gyök(12)..a/gyök(3))/81 =

J = a^4*(2/gyök(3) – gyök(3) + 8/gyök(3) – 5*gyök(3)/3 + 1/gyök(3) + gyök(3)/4 + 1/gyök(3) + 5*gyök(3)/48)/81 =

J = a^4/81*((2 + 8 + 1 + 1)/gyök(3) + (1/4 + 5/48 – 1 – 5/3)*gyök(3)) =

J = a^4*gyök(3)/81*(12/3 – 37/16) = gyök(3)*a^4/48.

Ha te is kiszámolod kétszer, akkor látni fogod, hogy melyik a jobb.