Létezik olyan háromszög, amelyiknek mindhárom oldalának hossza prímszám?

Egy háromszög akkor megszerkeszthető, hogyha teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis bármely két oldal hosszának összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál.

Például ha az oldalak: 3;4;5 (erről tudjuk, hogy egy létező háromszög, ráadásul derékszögű), akkor:

3+4 > 5 igaz

3+5 > 4 igaz

4+5 > 3 igaz

Ha azt mondom, hogy az oldalak: 4;7;15, akkor

4+7 > 15 már nem igaz, tehát ilyen oldalhosszokkal nem létezik háromszög.

Értelemszerűen elég csak azt nézni, hogy a két kisebb összege nagyobb-e, mint a legnagyobb, mert ha a legnagyobb van az összegben, akkor az összeg alapból nagyobb lesz.

Tehát; olyan p1<p2<p3 prímszámokat keresünk, amelyekre p1+p2>p3. Erre nagyon egyszerű választ találni; 5,7,11 már jó lesz. Ezen kívül még lehet azért találni, de ez a legkisebb prímszámokat tartalmazó. Érdekes kérdés, hogy végtelen sok háromszöget lehet-e iilyen feltételekkel mondani, erre most nem vállalkoznék.

Ha az oldalak között egyenlőség is lehet, akkor meg még egyszerűbb megoldást találni, például 2;2;3, vagy 2;2;2.

Persze hogy végtelen sok ilyen háromszög van. (3 különböző prím)

Minden 3 egymást követő prímszám jó lesz (kivéve a legelső):

3,5,7, 5,7,11, 7,11,13, 11,13,17, ...

(Ezt nem tudom könnyen bizonyítani, de látszik ... :D)

Az, hogy végtelen sok ilyen van, az könnyen bizonyítható 5.5.4 (A), vagy 5.5.5 (A) felhasználásával:

[link]

Ha két egyforma prím is meg van engedve, akkor két egymás utáni prím mindig jó (valamelyik kétszer), és már Erdős bizonyította, hogy n és 2n között mindig van prím.

Végtelen sok létezik.

Pl.: 2;2;2 2;2;3 3;3;2 5;11;11 11;11;19 19;19;11....

Csak anyit kell tudni, hogy a háromszögek bármely 2 oldalát összeadjuk nagyobb lesz az összeg a 3.oldalnál és ezt kell végig nézni az összes oldalal+melyik számok a prímszámok, mert például a 4 az nem az