Hogy lehet [talán egyenlő oldalú] háromszög köré számítások nélkül körzővel, néhány (körzővel történt) vonal húzásával olyan körvonalat húzni a háromszög köré pillanatok alatt, mely érinti mind a 3 csúcsát?

Megszerkeszted az oldalfelező merőlegeseket. A metszéspontjuk lesz a köré írt kör középpontja.

Ez amúgy bármilyen sokszögre működik.

Kicsit bővebb magyarázat. Ha a körön a háromszög mindhárom pontja rajta fekszik, akkor a kör középpontjától egyenlő távolságra vannak, amely távolság pont a kör sugara. Lásd: [link]

(Látható, hogy az AM szakasz is, az BM szakasz is, a CM szakasz is ugyanannak a körnek a sugara.)

Elsőnek vegyük a háromszög két csúcspontját, mondjuk az A és a B pontot. Melyek azok a pontok, amelyek ezektől egyenlő távolságra vannak? Azok, amelyek a szakaszfelező merőlegesre esnek. Remek. Csakhogy ez nem egy pont, hanem egy egyenes.

Csináljuk meg ugyanezt mondjuk a B és a C ponttal is. Erre, mint szakaszra ugyanúgy állítsunk egy szakaszfelező merőlegest. Az ezen az egyenesen található pontok mind-mind ugyanolyan távolságra vannak B és C ponttól.

A két szakaszfelező merőlegesnek lesz egy metszéspontja. Ez lesz a háromszög köré írt kör középpontja. Mivel az AB szakasz szakaszfelező merőlegesére esik, ezért A-tól és B-től is egyenlő távolságra lesz. De mivel a BC szakasz szakaszfelező merőlegesére is esik egyben – hiszen a kettő metszéspontja –, ezért B-től és C-től is egyenlő távolságra lesz. Azaz mindhárom ponttól egyenlő távolságra lesz, ami a köré írható kör sugara lesz.