A pi végtelen sok tizedesjegyei között van olyan "szakasz", ahol egymás után kétmillió nulla van, aztán 1-től kétmillióig egyenként halad?

Biztosat nem lehet tudni, de 99,99...% valószínűséggel legalább 10^10^99,99 -szer előfordul az első googolplex számjegy között! :D

"...meg lehetne állapítani...?"

Majd a jövő században, talán...

No. Hasonló kérdésekre én is keresem még a választ. A π-ről tudjuk, hogy irracionális szám, azaz nem írható fel két szám hányadosaként. Azt is tudjuk, hogy transzcendens szám, tehát nem gyöke racionális együtthatós polinomnak. (Pl. a √2 ugyan irracionális szám, nem írható fel két szám hányadosaként de az x²-2=0 polinomnak gyöke.)

De ez még önmagában nem jelenti azt, hogy az adott szám számjegyeiben bármilyen véges hosszúságú minta szerepel. Például generáljunk egy számot a következő módon:

1 számjegy az 123456789 123456789 123456789 sorozatból.

1 darab nulla

2 számjegy az 123… sorozatból

1 darab nulla

3 számjegy az 123… sorozatból

1 darab nulla

4 számjegy …

t = 0, 1 0 12 0 123 0 1234 0 12345 0 123456 0 1234567 0 12345678 0 123456789 0 1234567891 0 12345678912 0 …

(Vagy akár csinálhatjuk úgy is, hogy az egyre hosszabb „nem nullás” szakaszok számjegyei véletlenszerű sorrendben vannak.)

Ez a szám irracionális szám lesz. Transzcendens szám is lesz. De nem lesz benne olyan minta, amiben két darab nulla követi egymást.

Hogy a π-ben bármilyen véges minta megtalálható-e én erre nem találtam bizonyítékot. Viszont a π-t nagyon sok számjegyig ismerjük. A legutóbbi rekord tudtommal 22 459 157 718 361 számjegy pontossággal számolta ki a π-t. A számjegyek mintázatát sokféle statisztikai módszerrel vizsgálták. Azt találták, hogy a számjegyek, a számjegyszakaszok eloszlása kvázi azonos a véletlen számok eloszlásához. Elég nagy mintában az egyes számjegyek előfordulási gyakorisága azonos (a számjegyek 10% egyes, 10%-a kettes, stb…). A kétjegyű, háromjegyű, stb… számsorozatoknál is így van.

Ha ez igaz, akkor kérdésben leírt minta kell, hogy szerepeljen a π-ben. De kérdés, hogy tényleg így van-e, nem borul-e fel ez az egyenlő eloszlás mondjuk kvadrillió számjegyet vizsgálva. Én úgy tudom, hogy ezt nem tudjuk, csak feltételezzük a π eddig ismert számjegyei alapján.

Nem igazán értem az utolsó válaszodat. Az irracionális számok nem szakaszosak. Ha kreálsz egy szabály alapján egy irracionális számot, az létezik. Egy konkrét irracionális számnál azonban csak statisztikai módszerekre hagyatkozhatunk.

Ez itt kb 15 millió számjegy, azaz ha véletlen soroztatnak tekintjük a pít, akkor alapvetően binomiális eloszlással (+sorrend) lehet becsülni. Kapunk egy nagyon nagy n-et, aminél statisztikai alapon már 99,9..% eséllyel lesz egy ilyen tag.

Tehát becsülni az alapján lehetne, hogy hány számjegynél hány % eséllyel kapunk ilyen tagot.

> Honnan veszed, hogy a te általad vázolt irracionális szám transzcendens szám is lesz?

Ez inkább csak sejtés. Legalábbis nagyon csodálkoznék, ha (a véletlenszerűséget is belevéve) mindegyikhez fel lehetne írni egy racionális együtthatós polinomot, aminek gyöke az adott szám. Aztán lehet, hogy nem transzcendens szám egyik sem. Nem is ez a lényeg, hanem hogy hiába szerepel benne végtelen sok minta, nem biztos, hogy bármilyen kitalált minta szerepel benne. Az egyikből nem következik a másik. A π esetén is lehet, hogy végtelen számú minta szerepel benne, de nem biztos, hogy egy adott minta szerepel benne. Legalábbis ez tudtommal nincs bizonyítva.

#7:

abból hogy normális miért következik hogy minden minta szerepel benne valahol?