Két pozitív (különböző) irracionális szám hányadosa is irracionális szám?

De ha "relatív prímek" és "nem kapunk racionális számot", akkor mi a kérdés? ... Egyedül te lovagolsz a saját hülyeségeden. Egyébként meg definíció szerint az x és y számok különbözőek, hogyha teljesül rájuk, hogy x=/=y. Tehát a gyök(2) és a 2*gyök(2) különböző számok, lévén gyök(2)=/=2*gyök(2) (ennek bizonyítását rád bízom, hátha belátod, hogy mégsem így van).

De, mint azt már leírtam, a hányados csak úgy lehet racionális, hogyha az egyik szám a másiknak racionális számszorosa. Ha ez nem teljesül, akkor triviálisan igaz, hogy a hányados irracionális lesz (remélem arra a szintre nem fogunk lesüllyedni, hogy két valós szám hányadosa akár nem valós komplex is lehet).

A kérdező 18-as hozzászólása:

"... És valóban nem kötöttem ki semmi az irracionális számokkal kapcsolatba. :) "

77%-os 20-as hozzászólása:

"Látom a szövegértés még 19 komment után sem megy...

Hogy milyen szövegértés? Feltehetőleg a kérdező a "(különböző)" irracionális számokon olyat értett, melyeknél a számláló és a hányados egymással relatív prím így nem végezhető el egyszerűsítés és nem kapunk racionális számot..."

Erre mit lehet mondani?

mindenki hülye csak én vagyok helikopter

#20> Hogy milyen szövegértés? Feltehetőleg a kérdező a "(különböző)" irracionális számokon olyat értett, melyeknél a számláló és a hányados egymással relatív prím így nem végezhető el egyszerűsítés és nem kapunk racionális számot. Még jó hogy a √8 és a √2 többször is felütötte a fejét ennek ellenére..

A különböző az azonos szó ellentéte. Két szám akkor különbözik, ha nem azonosak. Maga az elnevezés is ebből fakad. Van közöttük különbség, vagy ha úgy tetszik a különbség a két szám között nem nulla. A 2 és a 4 különböző számok. Nem, a különbözőségnek nem kritériuma, hogy a két szám relatív prím legyen.

Hétköznapi értelemben is így van. Ha valami különböző méretekben kapható, az nem azt jelenti, hogy a kapható méretek páronként relatív prímszámok. Matematikai értelemben is így van.

Pl.: [link]

„Minden összetett szám prímtényezős alakjában egynél több, nem feltétlenül különböző prímszám szerepel. Például 4 = 2*2 prímszám kétszer jelenik meg.”

Mivel a prímszámok természetüknél fogva relatív prímek, a „nem feltétlenül különböző” egy felesleges kitétel lenne, ha a különbözőség azt jelentené, amit te értesz alatta és nem azt, amit kvázi mindenki más.

Vagy: [link]

„Egy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata.”

Meg már csak azért is így van, mert egy csomó más matematikai fogalom esetén a különbözőség máshogy nem is értelmezhető. Mikor különböző két halmaz? Mikor különböző két permutáció? Mikor különböző két előjel? Akkor, hanem azonosak. Ennyi.

"Jó, értem, tehát két irracionális szám hányadosa minden esetben racionális. Ez azt jelenti, hogy pi/e is racionális szám?"

Nem tudom, hogy ezt mennyire sikerült tisztázni, a biztonság kedvéért azért válaszolok rá: nem, nem minden esetben racionális.

A matematika egyik ága a logika, ami lényegében arról szól, hogy vannak állítások, melyek igazságértéke "Igaz" vagy "Hamis", és az állításokat is valamilyen kapcsolatba lehet hozni, ezzel egy újabb állítást kapunk, ami a lefektetett szabályok szerint vagy Igaz, vagy Hamis.

Ha egy (matematikai) állításról szeretnénk belátni, hogy Igaz vagy Hamis, akkor az állítás fajtájától függően bizonyítunk:

-ha az állításban "létezik / van olyan" szerepel akkor elég 1 olyat mutatni, ha nincs, akkor a többi halmazbeli elemről kell belátni, hogy nincs, például

"Van olyan prímszám, amelyik páros", ez az állítás igaz, mivel találunk olyat, a 2-t. Minket nem érdekel, hogy ezen kívül még mennyi van, a lényeg, hogy találtunk egyet. Ellenben a

"Van olyan prímszám, amelyik osztható 6-tal" állításról úgy tudjuk belátni, hogy nem igaz, hogy minden 6-tal osztható számról belátjuk, hogy egyik sem prímszám (például úgy, hogy ha osztható 6-tal, akkor biztosan osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal és 6-tal, tehát legalább 4 osztója van, ami több, mint 2, tehát nem lehetnek prímszámok). Ha az állításban "nem létezik / nincs olyan" van, akkor ugyanez a történet.

-ha az állításban "minden" van, akkor vagy azt látjuk be, hogy mindre igaz, vagy találunk ellenpéldát, például

"minden síkháromszög belső szögeinek összege 180°", erre nem tudunk ellenpéldát találni, de be tudjuk látni, tehát igaz, viszont a "minden háromszögnek van szimmetriatengelye" állításra tudunk ellenpéldát mutatni, ezért ez hamis. Ha "minden" helyett "nincs" van, ugyanez a történet.

Ez utóbbi igaz az állításodra; azt állítottad, hogy bárhogyan választunk ki két különböző irracionális számot, azok hányadosa mindig irracionális lesz. Ez persze nem igaz, mivel tudunk ellenpéldát adni, például a gyök(8) és a gyök(2), ezek hányadosa 2. Ez persze nem jelenti azt, hogy MINDIG racionális lesz a hányados, mint például a gyök(6) és gyök(3) esetén, ezek hányadosa gyök(2), amiről tudjuk, hogy irracionális.

Persze sajnos a legtöbb esetben nem olyan egyszerű a bizonyítás, mint a gyök(2) esetén; a pí és az e (Euler-szám) bizonyítása egyáltalán nem pár lépés, ezek hányadosának belátása meg pláne nem (már bizonyított, és tudjuk hogy irracionális), viszont azt nem tudjuk, hogy pí^e vagy e^pí irracionális-e (sejtjük, hogy mindkettő irracionális, de bizonyítani nem tudták eddig).