Két pozitív (különböző) irracionális szám hányadosa is irracionális szám?

√8/√2 racionális

√3/√2 irracionális

√2*√2 racionális

√2*√3 irracionális

...

Nem kell messzire menni; ha x racionális, de nem négyzetszám, akkor gyök(x) és 1/gyök(x) hányadosa gyök(x)/(1/gyök(x))=gyök(x)*gyök(x)/1=x, ami így racionális. Persze ebben az esetben be kell látni, hogy 1/gyök(x) iracionális, ami roppant egyszerű; felteszük indirekt, hogy racionális, ekkor létezik a;b, hogy

1/gyök(x)=a/b, vesszük mindkét oldal reciprokát

gyök(x)=b/a, erről már az előzőek alapján tudjuk, hogy nem igaz. Tehát 1/gyök(x) irracionális.

Ha pedig „kizárjuk a többszörös esetet”, akkor triviálisan igaz, lévén csak akkor lehet két irracionális szám hányadosa racionális, ha azok egymás racionális többszörösei. Ha pedig „többszörös eset” alatt egész számú többszöröst értünk, akkor legyen az egyik szám gyök(8), a másik szám gyök(18), ezek hányadosa 2/3, egymásnak pedig nem egész számú többszöröseik.

privátból részlet a #2,3-astól

"Egyszerűen a gyakorin, a tudományos kategóriában sok a precíz ember és nem értenek egyet azzal amit írsz és főleg azért, mert mellé beszélsz a kérdésnek és nem arra válaszolsz ami érdekelné."

Az egyetlen ellenérv amit felhoztál is még abba a kategóriába esik amit kizártam, és az a kategória amire a kérdező egyáltalán nem kíváncsi..

"√8/√2 racionális" √8 √2-nek a kétszerese tényleg nem mentél messzire."

Nézd #2,3-as válaszoló, ne küldj már privátot!

Még jó, hogy itt vagy te, mint "precíz" ember és megmondod a tutit. Csak ezek a precíz emberek akkor miért hagyják, hogy ilyen "baromságok" legyenek a wikipedán + tudományos oldalakon, hogy "Egy racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, valamint - ha a racionális szám 0-tól különböző - szorzata és hányadosa is irracionális."

Ja, mert nincs igazad.

A kérdező kikötötte, hogy egyik irracionális számot se lehessen felbontani egy racionális és egy irracionális szám szorzatára? Nem! Tehát ebből mi következik?

Még jó, hogy tudod, hogy mire kíváncsi a kérdező és mire nem.

És nézd már meg mennyire hasznos volt a válaszod!

Én is csak az előző véleményeket tudom megerősíteni.

#8 jól leírta, hogy mi a helyzet egy racionális és egy irracionális szám szorzatával. Legyen egy i irracionális számunk. Legyen r egy racionális szám, ami felírható p/q alapkban úgy, hogy p és q egész számok. Ha az eredmény racionális, akkor az is felírható x/y alakban, ahol x és y egész számok. Ekkor ez a helyzet állna fenn:

i * r = x/y

{Helyettesítsük be r helyére p/q -t!}

i * p/q = x/y

{Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát p/q -val!}

i = (x/ y) / (p/q)

{Törttel úgy osztunk, hogy a reciprokkal szorzunk:}

i = (x/ y) * (q/p)

i = (x*q) / (y*p)

Mivel x, y, p és q egész számok, így x*q is egész szám lesz, y*p is egész szám lesz, tehát i felírható lenne két egész szám hányadosaként, azaz racionális szám lenne. Ez viszont ellentmondana annak a feltételnek, hogy i irracionális szám. Így kizárásos alapon egy irracionális és egy racionális szám szorzata csak irracionális lehet.

(Egyetlen kivétel van, ha az a bizonyos racionális szám 0. Ekkor természetesen az irracionális szám és a nulla szorzata is nullát ad eredményül, tehát racionális számot kapunk: i*0 = 0)

Tehát bizonyított, hogy:

racionális * irracionális = irracionális

Ebből az egyenlet átrendezésével azt kapjuk, hogy ebben az esetben (de csak ebben az esetben):

irracionális / irracionális = racionális.

Azaz minden olyan esetben amikor az egyik irracionális szám a másik irracionális számnak egy racionális többszöröse, akkor a két irracionális szám hányadosa természetesen racionális szám lesz.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

De vegyünk egy konkrét példát:

A két számunk:

a = 2 * √2

b = √2

A két szám hányadosa:

a / b = (2 * √2) / √2 = 2

√2 irracionális.

2 * √2 is irracionális.

Az eredmény mégis racionális szám.

Aki szerint 2 * √2 nem irracionális, az írja meg – itt és ne privátban –, hogy hogyan írható fel két egész szám hányadosaként. De nem fog menni, hiszen:

2 * √2 = p/q

√2 = p/(2q)

Ebből meg az következne, hogy √2 is racionális kellene hogy legyen, amiről tudjuk, hogy nem az. (Bizonyítás itt: [link] )

Látom a szövegértés még 19 komment után sem megy, de örülök, hogy sokan szeretnek kötözködni, pontozni, és mocskolódni mind e mellett egy borzasztóan triviális kérdést halmozottan megválaszolni és lovagolni rajta.

Hogy milyen szövegértés? Feltehetőleg a kérdező a "(különböző)" irracionális számokon olyat értett, melyeknél a számláló és a hányados egymással relatív prím így nem végezhető el egyszerűsítés és nem kapunk racionális számot. Még jó hogy a √8 és a √2 többször is felütötte a fejét ennek ellenére..

De pontozzatok, mocskoljatok csak tovább nyugodtan ez az oldal pont nektek való, internetes értelmiségieknek. Sziasztok.