Ha 10x annyi bolygó van mint csillag, akkor a végtelenben ugyan annyi bolygó van mint csillag?

Hát én végigolvastam és elkeseredtem. Bejött az a (biológiai) természettörvény, hogy minél kevésbé ért valaki valamihez, annál magabiztosabban és lekezelőbben állít ostobaságokat. Aki a humort kedveli, ismerheti Parkinson törvények is. És mint humor is véresen igaz és komoly.

Ami a végtelen fogalmát illeti, nehéz valamiről beszélni, ha nem ismerjük. És miként vegyek rá bárkit, hogy előbb ismerje meg fogalmakat, miként ösztönözzem elég kemény tanulmányokra? Innen! Ez tehát reménytelen, illetve tökéletesen esetleges.

Sokféle végtelen van. A számosság egy tulajdonsága, de van neki sok más is.

Talán kérdező a következőt mondhatnám: Az egyenlőség jelentése az, hogy ha van két csoport, akkor sorban veszünk egy elemet az egyikből és a másikból, egymáshoz tesszük, és kipipáljuk, jön a következő. Mindezt addig folytatjuk, amíg elemet találunk. Ha 10 darab van, akkor a 10. lépés után válaszolhatunk, ha több, akkor a többedik lépés után. Mikor az egyik csoportban már nincs több elem. Akkor megnézzük, mi a helyzet a másik csoporttal. Ha abban sincs, azt mondjuk, a két csoport egyenlő (elemeik száma egyenlő). Ha ott még maradt elem, akkor azt mondjuk, a másik csoport nagyobb. Ez a definíció és a döntési mechanizmus.

Na most te is tedd ezt. Az egyik csoportba a csillagokat, másikba a bolygókat. Végy egy csillagot. Biztosan lesz hozzá egy bolygó, vedd ki. Amikor minden csillaghoz hozzárendeltél egy bolygót, akkor a csillagok kifogytak abból a csoportból. Kukkants bele a másik csoportba. Találsz ott bolygót bőven. Tehát biztos, hogy a bolygók többen vannak, nem ugyanannyian. Ha most elölről kezded a mókát, ismét ki tudsz szedni minden csillaghoz egy bolygót. Lesz egy másik bolygócsoportod, amelyben pont annyi bolygó van, ahány csillag. Ezt a vicces dolgot pontosan tízszer tudod megismételni. Lesz egy csillagcsoportod és 10 bolygócsoportod. Minden bolygócsoportban pontosan annyi bolygó van, mint csillag. Hiszen direkt így csináltad. na most, mivel 10 csoportod van, ezért a bolygók száma is végtelen és a csillagok száma is végtelen, mégis pont tízszer annyi a bolygó, mint csillag.

Egy kicsike probléma azért akad, bár biztosan nem ezt vetted észre. Mégpedig az, hogy itt számláltuk a csillagokat. Más szóval (ahogy Wadmalac mondaná) a számosságuk "megszámlálható". Csakhogy van másfajta végtelen is, ami nem megszámlálható. És a számossága is más.

Ehhez már nem jók a csillagok, vissza kell térnünk a számokhoz. Vedd a pozitív egész számokat. Ez lesz az egyik csoport. Vedd a (mondjuk) pozitív valós számokat. Legyen az a másik csoport. Kezdd el a mókát ismét. Egyhez az egy, kettőhöz a kettő, és így tovább. Kaptál egy csoportot, maradt még tehát folytassuk. Vedd az egyhez azt, aminél az egy után még egy egyes áll (egy egész egy tized). Vedd a kettőhöz is, aminél a kettő után egy áll, a pozitív számokat ismét kivégezheted, és a másik csoportban marad még sok szám. Most vedd azokat, amiknél 11 áll, azaz tizenegy század. Aztán folytasd még eggyel majd ismét. Azt fogod tapasztalni, hogy nem tudod megszámolni. Ugyanis ha azt mondod, kész vagy, én áttekintem és mondok olyant, amit otthagytál. Ezt a csoportot ilyen módszerrel nem tudod kiüríteni. Ezt mondjuk ebben a csoportban megszámlálhatatlanul sok elem van az előbbihez képest. ez egy új minőség, ez egy másik számosság. A számosság valami ilyesmit jelent.

Most jön a kegyelemdöfés. A matematikusok azt mondják, a számosságokból is megszámlálhatatlanul sok van. Sokkal több, mint a számokból. De már a végtelen megértéshez is nagyon sok ismeret kell, legalábbis ahhoz, hogy azt értsük alatta, ami. A számosságok valódi természetének megértéséhez, pláne a velük való bűvészkedéshez azonban több év kemény tanulás kell. Ez nem megkerülhető. Lesznek, akik még ezt a gondolatmenetet sem értik, és badarságnak minősítik. A nem értésnek soha nincs más fegyvere, mint a lenézés, lekicsinylés. A vitát felvenni, kicsit több tudás és több merészség kell. No meg visszafogottság, kölcsönös megbecsülés. Ismert az üres halmaz fogalma. Akikről előbb szóltam, náluk a megbecsülés és visszafogottság üres halmaz. A világ így működik.

Sok szerencsét a csillagok számlálásához. Mert ahhoz kell a tudás és a szerencse is. Hogy hol melyik, döntsd el magad.

#31, Az alábbi idézetek között én ellentmondást érzek, ezt el tudnád magyarázni egy-két mondatban?

"A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, amely természetes szám, beleértve a nullát is, s ez az üres halmaz elemszámának felel meg."

"Azaz minden nemnegatív számhoz rendeljük a páros számokat és minden negatívhoz a páratlanokat. Ez egy jó példa arra, hogy végtelen halmazok esetében lehetséges, hogy egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza egyenlő számosságú."

[link]

"Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció."

"Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik."

[link]

...Mármint azt nem értem, hogy ez a bijekció, amivel bizonyítják a részhalmaz és a teljes halmaz azonos számosságát, nem minden elemet használ fel a teljes halmazból. Így persze, hogy azonos lesz a számossága. :)

És ez válasz lenne a kérdező legutóbbi kérdésére is.

#32-nek.

Mindenekelőtt korábbi megjegyzésem első bekezdése bizonyítva van. Vagyis következő mondataim kizárólag neked szólnak.

A wikipédia kiváló eszköz bizonyos témákban való tájékozódáshoz. A tudományos kérdésekben azonban nem mindig venném a kijelentéseit készpénznek. Végül is, ahogy önmagát definiálja, szabadon szerkesztett (nem ellenőrzött, de azért elég jó) enciklopédia.

A számosság véges halmazok esetén a halmazban lévő elemek száma. Végtelen halmazok esetén ennek egy absztrakciójára van szükség. Tehát először is azt mondjuk, hogy két végtelen halmaz számossága megegyezik, ha ekvivalens halmazok, azaz létezik olyan egy-egyértelmű leképezés, amely az egyik halmaz összes elemét a másikba képezi le. Mivel azt mondjuk, hogy a két halmaz számossága "egyenlő", ezért igaznak kell lenni az egyenlőség tulajdonságainak, tehát szimmetrikus, reflexív és tranzitív.

A végtelenekkel nem olyan egyszerű bánni, mert nem úgy látjuk át, mint a végest. A (pozitív) páros számok halmazának számossága például egyenlő a (pozitív) egész számok halmazával. Ez eléggé mellbevágó, de: Vegyük az egész számokat sorban: 1, neki megfelel 2. 2, neki megfelel 4. 3, neki megfelel 6. És így tovább. Bármely számot veszel az egész számokból, mindnek lesz megfelelője a párosokban. És fordítva? 2, neki megfelel 1. 4, neki megfelel 2, és így tovább. Bármely párosnak van megfelelője. Ha számosság(A) = számosság(B) és számosság(B) = számosság(C), akkor számosság(A) = számosság(C). Bizonyítása az előbbi módszerrel.

Ha viszont a valós számok halmazát tekintjük, annak már sokkal nagyobb a számossága, mint az egész számoké. Miért, mert minden egész számhoz tudsz rendelni egy számot (például önmagát) ami benne van a valósokban is. Viszont sok olyan szám van a valósokban, ami nincs az egészek között.

A számossággal a végtelenben nem egészen úgy kell bánni, mint a végesben.

Értem, és elfogadom, köszönöm.

Van viszont egy dolog, amit nem értek.

"Viszont sok olyan szám van a valósokban, ami nincs az egészek között."

Ez a természetes és páros természetes számokra is igaz, tehát a természetes számok között "sok" olyan van, ami nincs a páros számok között. Ha jól értem, bármely két megszámlálhatóan végtelen halmazt össze tudok rendelni úgy, hogy az egyik minden eleméhez rendelek egyet a másikból.

Bocsi, ha értetlen vagyok, de ez alapján akkor bármely két megszámlálhatóan végtelen halmaz számossága azonos. (?)

Vegyük a csillagok és bolygók esetét, feltételezve, hogy mindkettő végtelen halmaz. Mondjuk a bolygókat számokkal jelölöm, a csillagokat betűkkel. számokkal.

0 - A

1 - B

2 - C

3 - D

... ezt a végtelenségig

És ez fordítva is működik. Ez azt jelenti, hogy a bolygók és csillagok számossága (száma?) valóban azonos? Legalábbis az alapján, hogy tetszőleges mennyiségben összerendelhetők egymással az elemek.

:)