Nullával való osztást miért nem értelmezzük?

Nézzük a másik oldalról:

Tudjuk, hogy a szorzás mindig elvégezhető, azaz \forall a,b\in\mathbb{R}:\exists c\in\mathbb{R}, a\cdot b=c. Na most, ha a vagy b nulla, akkor c is 0.

És most fordítsunk! Megadom a-t és c-t, találd ki b-t! Ez az osztás definíciója. Viszont! Ha a=0, akkor c-nek muszáj nullának lennie, mert különben ellent mondunk a szorzásnak. Ha c=0, de a nem, akkor hasonló okokból b-nek kell nullának lennie. Viszont ha a=0, akkor b bármi lehet, és minden a\neq0 esetén ha c=0, akkor b-nek muszáj 0-nak lennie, azaz vagy nem értelmezhető az osztás, vagy minden számra teljesül, ami megint a definíciónak mond ellent. Tehát a 0-val való osztásnak nem lehet értelmet tulajdonítani.

-------------------------------------------------------

Érdekesebb a kérdés, ha nem a hagyományos számkörben dolgozunk, hanem mondjuk egy véges csoportban. Például a 6-tal való osztási maradékok is csoportot alkotnak, és itt két nem nulla szám szorzata lehet nulla: 2\cdot3=0. Itt van értelme visszafelé is érdeklődni, de érdekes módon itt sem lesz feltétlenül egyértelmű a 0-val osztás, ugyanis 2\cdot3=4\cdot3=0\cdot3=0.