Ez elfogadható lenne a halmaz definíciójának?

A halmaz különböző objektumok definiált összessége.

Minden benne van. Az összes egyéb körítés már nem a halmaz definíciója, hanem a jellemzése. A halmaz jellemzéséhez tartozik az, hogy a bele tartozó objektumokat "elem"-nek nevezzük, hogy az elemek száma a "számosság", és hogy megengedett az üreshalmaz. Ez utóbbi amúgy már a definícióból is látszik, hiszen a "pegazusok halmaza" egy legitim halmazkijelölés (a pegazusok "különböző objektumok"), a halmaz mégis üres. A fenti megfogalmazásból az is kitűnik, hogy a halmaz elemei definiálás által kerülnek a halmazba, vagyis mi mondjuk meg, hogy mi legyen a halmaz. Nem kell körülírni, hogy a definiálás történhet szabállyal ("minden kutya") vagy elemkijelöléssel ("az én kutyám és a te autód halmaza"), mivel már tudjuk, hogy mi mondhatjuk meg, hogy mi legyen a halmazban.

A definiált azt jelenti, hogy te definiálod az adott halmazd. Azaz te mondod meg, hogy mi legyen egy halmazban. "Legyen egy halmaz az összes páros szám." "Legyen egy halmaz az összes egér és Mari néni." "Legyen egy halmaz az összes ex-szerelmem."

A összesség meg azt, hogy minden tag, amit a definíció tartalmaz, része a halmaznak. Vagyis ha azt mondod, hogy "a páros számok halmaza", az MINDEN páros számot jelent, nem pedig NÉHÁNY páros számot (ezt fontos kikötni ahhoz, hogy tudjuk mi is az a halmaz).

Képzeld el a halmaz definíciót az "összesség" nélkül. Akkor valami olyasmi lenne, hogy

"A halmaz definiált objektumokból álló csoport."

Vagyis a páros számok halmazában páros számok vannak, ez tiszta sor, de nem biztos, hogy benne van az összes. Lehet, hogy hiányzik belőle a 68, ha épp úgy tartja kedvünk, hogy a 68-at nem akarjuk a halmazban tudni. Nyilván egy ilyen mozgóhalmaz mindenféle műveletre alkalmatlan volna. Ha azt akarjuk, hogy a halmaz egy olyan bigyó legyen, amiben MINDEN elem kötelezően és mindig benne van, akkor a definícióban ezt meg kell mondani, nem elég odagondolni pusztán azért, mert logikusnak tűnik.