Egy részhalmaz számossága lehet nagyobb, mint az alaphalmazé?

az előzőhöz:

"...a számok is halmazok, tehát azok összehasonlítását meg muszáj számok nélkül értelmezni"

(1) A számok nem halmazok, hanem a számok is lehetnek halmaz elemei.

(2) A következtetés sem világos, ha a számhalmaz is halmaz, ettől még miért lenne muszáj számok nélkül értelmezni bármit?

Tanultam sokfélét, de pl. azt nem tudom, hogy 2/3 vagy gyök(7) hogyan lenne halmaz...

A halmaz ugye alapfogalom, de ami halmaz, annak ugye eleme van, egy halmazba minden dolog vagy beletartozik, vagy sem.

Az {5}, az egy egyelemű halmaz, de az 5 az mitől lenne, lehetne halmaz????

Az egész matematika halmazokból épül fel, a halmazelméleti axiómákból van levezetve. A természetes számok halmaza a legkisebb monoton halmaz, amely tartalmazza az üreshalmazt, az 5 pl. az üreshalmaz szukcesszorának a szukcesszorának a szukcesszorának a szukcesszorának a szukcesszora.

Az egész számokat úgy kapjuk, hogy vesszük a természetes számok halmazának a Descartes-szorzatát önmagával, és faktorizáljuk arra az ekvivalencia-relációra, hogy (a,b)~(c,d) ha a+d=c+b. A recionális számok halmazát úgy képezzük, hogy Descartes-szorozzuk az egész számokat a nemnulla egész számokkal, és faktorizálunk: (a,b)~(c,d) ha ad=bc. A valós számok olyan részhalmazai a racionális számok halmazának, amelyekre teljesül, hogy 1) nem üres 2) Q-ban felülről korlátos 3) nincs maximális eleme Q-ban és 4) ha egy rac szám eleme, akkor minden annál kisebb rac szám is eleme.

Annak, hogy sok mindent tanultál, semmi köze nincs ahhoz, hogy az adott témához értesz-e. Ahhoz az adott témát kellett volna tanulnod. Ha mégis tudatlanul osztod az észt, az kifejezetten visszataszító.

@Parafagólem: De, halmazok. A természetes számok felépítése az alap. Legyen 0:=\emptyset, és bármely n-re n^+:=n\cup n. Monotonnak nevezünk egy M halmazt, ha \forall m\in M:m^+\in M. Egyetlen axióma kell, ami biztosítja ilyen halmaz létezését (mootonitási axióma), és lehet bizonyítani,hogy van legkisebb monoton halmaz. Ez a természetes számok halmaza. Ha N\times N-en bevezetünk egy ekvivalenciarelációt, akkor ezáltal lehet faktorizálni a halmazt, a faktorhalmazok lesznek az egész számok, ezekre érvényes, hogy ha (a,b),(a',b')\in z, akkor a+b'=a'+b. Egy bijekció segítségével pedig természetes számok beágyazhatóak az egész számokba.

A racionális számok hasonlóan állnak elő, csak a valós számok szívóznak kisit, ezt a Dedekind szeletek okozzák. Ezek szerkezete peig egyszerű, pl. \sqrt{2}:=\left{x|x\in \mathbb{Q}\wedge x^2\leq2\right}. \mathbb{R}^2 pedig azonosítható a komplex számok halmazával.