Minimum mennyi legyen n, hogy Y > X legyen? Y = 3^ (3^ (3^ (3^ (3^.3) ) ) ), n db hármassal, X = 2^ (2^ (2^ (2^ (2^.2) ) ) ), n+2 db kettessel.

Tudjuk alkalmazni a hatványozás azonosságait;

III. azonosság: hatvány hatványozásánál az alapot a kitevők szorzatára emeljük, képlettel: (a^n)^m=a^(n*m), ez többször is elvégezhető. Esetünkben így Y=3^(3*3*3*...*3), a zárójelben n-1 darab 3-as van, így Y=3^(3^(n-1)), X=2^(2*2*2*...*2), itt n+2-1 darab 2-es van a zárójelben, tehát X=2^(2^(n+1)). Az a kérdés, hogy mikor lesz Y>X, vagyis

3^(3^(n-1))>2^(2^(n+1)) /vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát (igazából mindegy, hogy milyen az alap, de ezt itt könnyebben le tudom írni)

lg(3^(3^(n-1)))>lg(2^(2^(n+1))

A III. logaritmusazonosság megfordítása miatt a számok kitevői "lejönnek" szorzónak:

3^(n-1)*lg(3)>2^(n+1)*lg(2)

Az I. hatványozásazonosság megfordítása miatt szétbonthatóak az exponenciális tagok:

3^(n-1)=(3^n)/3

2^(n+1)=(2^n)*2:

((3^n)/3)*lg(3)>(2^n)*2*lg(2)

Most szorozzunk 3-mal és osszunk lg(3)-mal:

3^n>(2^n)*2*3*lg(2)/lg(3)

Felteszem, hogy n értéke pozitív egész, általában az szokott lenni, ezért ha most 2^n-nel osztunk, akkor a reláció megmarad (2^n nagyobb lesz 1-nél):

(3^n)/(2^n)>2*3*lg(2)/lg(3)=6*lg(2)/lg(3)

Vizsgáljuk külön a bal és jobb oldalt:

bal oldal: az V. hatványozásazonosság alapján átírhatjuk (3/2)^n-re, vagyis 1,5^n-re.

jobb oldal: a más alapra való áttérés képlete alapján lg(2)/(lg(3)=log(3)[2] (3-as az az alap, 2-es a szám), ezt megszorozva 6-tal, és a II. logaritmusazonosságot használva log(3)[2^6]=log(3)[64]-et kapjuk:

1,5^n>log(3)[64], a logaritmus definíciója alapján ennek a megoldása

n>log(1,5)[log(3)[64]], ennek kiszámoljuk az értékét számológéppel:

n>~3,28314

Ennek a legkisebb megoldása n=4, tehát 4 darab elég.

Ellenőrzés: legyen n=3, ekkor

Y=(3^3)^3=27^3=19683

X=((((2^2)^2)^2)^2)=(((4^2)^2)^2)=(16^2)^2=256^2=65536, ez még nem jó.

n=4-re

Y=19683^3=7625597484987

X=65536^2=4294967296, szemmel láthatólag ez már jó megoldás lesz.

Tehát ha n=4, akkor Y>X.

Igazad van, tényleg elnéztük, de akkor viszont nem kellettek volna a zárójelek:

X=2^2^2^2^...^2

Y=3^3^3^3^...^3,

de a félreértések elkerülése végett érdemes inkább képet küldeni, mint leírni.

Vegyük n-szer mindkét oldal 2-es alapú logaritmusát, ekkor ezt kapjuk:

2^2<log(2)[log(2)[log(2)[...log(2)[3^3^3^3^3...^3]]]], a logaritmus III. azonosságát használva azt kapjuk, hogy

4<log(2)[3*log(2)[3*log(2)[3*...log(2)[3*log(2)[3]]]]]

Beírtam a WolframAlpha-ba, és egy idő után 3,313 környékén megállt az értéke, valószínűleg azért, mert ez az érték a log(2)[3x]=x egyenlet megoldása. Hogy precízen, matematikai módszerekkel hogy kellene ezt bizonyítani, arról fogalmam sincs, de ezek alapján (mivel sohasem lesz 4-nél több az értéke) sohasem lesz "elég" 3-as, vagyis nincs olyan n, hogy Y>X, legalábbis a pozitív racionális számok körében.