Ha f fv folytonos [a, b]-n akkor integrálható is?

A probléma ott van, hogy kevered a pontbeli folytonosságot a folytonossággal. Valóban az 1/x függvény 0-ban nem folytonos, így nem folytonos minden olyan értelmezési tartományon, melynek 0 eleme. Azonban az R-integrálhatóság a pontbeli folytonosságon múlik, mégpedig azon, hogy a függvénynek 0 mértékű halmazon legyen csak szakadása. A fent részletezett tétel már ott bukik, hogy az 1/x függvény a [0,c] halmazon nem korlátos.

Egyébként ez jó példa arra, hogy miért szükséges a zárt intervallum, mivel az 1/x függvény az [1,inf) halmazon sem integrálható (tekintve, hogy az 1/n sor divergens), bár ott korlátos és folytonos.

"a folytonosságból nem következik az integrálhatóság"

Ez tiszta volt. Csak az nem, hogy a folytonosság nem feltétlenül szükséges feltétel.

Régen tanultam már ilyesmit. :)

Álljon itt a vita lezárásaként egy kicsit gondolkodtatóbb feladat.

Tekintsük az f(x) = 1/gyök(x) = x^(-1/2) függvényt a [0, 1] intervallumon. Ez ugye a 0 kivételével az intervallum minden más pontjában értelmes, azaz csak 1 szakadási pontja van, ez nullmértékű. Viszont ha megnézzük, akkor ez a függvény 0-ban jobbról tart a végtelenhez, azaz nem korlátos. Könnyen ellenőrizhető (egyszerű deriválással), hogy f primitív függvénye F(x) = 2*gyök(x), így integrálja az [ε, 1] intervallumon

F(1) - F(ε) = 2*gyök(1) - 2*gyök(ε),

ha ε tart 0, akkor 2*gyök(ε) is, azaz az integrál:

2*gyök(1) = 2.

Szóval a kérdés az, hogy hogy van az, hogy egy nem korlátos függvénynek kiszámoltuk az integrálját?

Szerintem itt valami olyasmi lehet a probléma, hogy a R-integrálható függvények halmaza nem zárt (a pontonkénti konvergencia kivezet belőle).

Legyen f(n)(x)=(x^(-1/2)), x >= 1/n

0 egyébként

egy függvénysorozat.

Ekkor f(n)(x) -> f(x), ahol

f(x)=(x^(-1/2)), x > 0

0 , x = 0

f(n) minden n-re R-integrálható (így L-integrálható), ezért a monoton konvergencia tétel miatt a függvénysorozat integrálja tart f integráljához.

Tehát a konklúzió, hogy f Lebesgue-integrálható és integrálja 2, de nem Riemann-integrálható (hiszen nem korlátos).