Ha f fv folytonos [a, b]-n akkor integrálható is?

Szükséges, de nem elégséges feltétel.

Van még sok minden, külön a határozott és határozatlan integrálra.

Pl. a Riemann-integrálhatóság, csak kezdetnek. :)

A Riemann-integrálhatósághoz az kell, hogy a függvény az [a, b] intervallumon korlátos legyen, és a szakadási pontjainak halmaza legyen nullmértékű.

Ha egy függvény az [a, b] zárt intervallumon folytonos, akkor korlátosnak is kell lennie, és szakadási pontja sincs.

Tehát a kérdésre a válasz:

IGEN, ha az f függvény folytonos [a, b]-n, akkor integrálható is.

(Szóval, Wadmalac, a Riemann-integrálhatósághoz a folytonosság nem szükséges, de egy zárt intervallumon elégséges feltétel. A nem szükségességre egyszerű példa a a sgn(x) függvény a [-1, 1] intervallumon, az elégségességhez meg ugye ezt a tételt használtam: [link] )

"Wadmalac, a Riemann-integrálhatósághoz a folytonosság nem szükséges, de egy zárt intervallumon elégséges feltétel"

Jogos.

Kicsit elméláztam az 1/x fv. [0,akármilyen +X] tartomány esetén és a meglévő folytonosság, nem lévő szakadás és nem lévő felső korlátosság miatt vitába kezdtem saját magammal. :D

Ezért vártam, hogy majd valaki kevésbé általánosan (és az én sok éve nem használt integrálási emlékeimnél frissebb ismeretből) válaszol, mielőtt a kérdezőt meg magamat is beviszem az erdőbe. :D

#5: Biztosan az alapdefiníciókkal van a bajom, de én nem "érzem" itt sérülni a folytonosságot.

Húderég tanultam ilyet. :D

#7: igen, de mivel a nulla eleme a [0, akármi] intervallumnak, és 1/x itt nem folytonos, ezért az intervallumon sem az.

Ugyanis a folytonossághoz minden pontban folytonosnak kellene lennie.