Ha a függvény határértékét implikációval definiálják, a határérték hogyan állhat fent hamis => igaz esetben?
Tehát:
0 < |x-a| < delta => |f(x) - A| < epsilon
Azt értem hogy igaz => igaz esetén hogy van a dolog de nem értem miért implikációval van az. Az implikáció ugye definíció szerint csak akkor ad hamis eredményt ha igazból következtetünk hamisra. Így A fenti definícióban 0 < |x-a| < delta feltételnek nem is szükséges fennállnia, attól még a határérték létezik - definíció szerint. De nem értem ez hogy lehetséges?
válasza:A határértékkel kapcsolatban egyébként nagyon fontos szabály (a definícióból eredő következmény), hogy véges sok helyen megváltoztatva a sorozatot, a határérték nem változik. Konkrétan ki is lehet dobni pl. az első egymillió elemét a sorozatnak, vagy egymillió tetszőleges tagját megváltoztatni.
Másik, hogy ha egy függvény határértéke egy "a" helyen létezik-e és ha igen, mekkora, annak szempontjából teljesen irreleváns, hogy f(a) mennyi vagy egyáltalán értelmezve van-e.
válasza:Kérdező, te nem érted a határértéket. Nem epszilon ÉS deltát kell választani alkalmasan!
Ha az f(x) határértéke A egy bizonyos "a" pontban, ez azt jelenti, hogy BÁRMILYEN kicsi epszilont is adsz meg előre, ahhoz (és nem máshoz) MINDIG megadható olyan delta, hogy ha az x nincs messzebb az a-tól, mint delta, akkor az f(x) sem lesz messzebb az A-tól, mint epszilon. Tehát az a lényeg, hogy a függvénynek mindig található olyan része, amelyre minden, az "a"-hoz elég közeli argumentumra a függvényérték nem lesz messzebb a határértéktől, mint az előre adott, akármilyen kicsi távolság. Ebben a tartományban nem találhatsz x-et, amelyre a függvény "kilóg". Az implikáció abban van, hogy ELŐRE adott TETSZŐLEGES epszilonhoz LÉTEZIK delta, hogy ott MINDEN függvényértékre teljesülnek a feltételek. Ha nem létezne mindig, akkor az A nem lenne határérték.
"Nem az a lényeg, hogy csak olyat keresünk.
Az a lényeg, hogy nem találhatnánk másmilyet, ha akarnánk sem. Valahányszor 0<|x-a|<delta, akkor ha akarnánk se találnák olyan x-et, amelyre ne teljesülne |f(x)-A|<epsilon."
Vegyük pl sorozatok határértékét. Ha tudom hogy egy sorozat konvergens és határértéke "a", akkor bármilyen epsilont is adok meg, lehet az nagyon kicsi vagy nagy, ahhoz mindig találok olyan N(eps) küszöbindexet, hogy |a(n)-a| < eps. Tehát tetszőleges epsilon és hozzá megfelelő N(eps) esetén (és mivel tudom h konvergens) nem kérdés h |a(n)-a|<eps fennáll-e. Ha közben kiderülne hogy mégsem konvergens, akkor nem tudnák olyan N(eps) -t mondani amire az egyenlőtlenség fennállna.
Ezeket jól értem ugye?
Namost vegyük a függvényeket. Ha jól értelmezem, megadok egy tetszőleges epsilont, ami nekem ugye megint lehet nagyon kicsi vagy nagy. A lényeg az, hogy ehhez a tetszőleges epsilonhoz tudok mondani egy alkalmas deltát, amire teljesül az implikáció (0 < |x-a| < delta => |f(x)-A|<eps). Ha az implikáció nem teljesül, akkor a delta nem alkalmas. Ha nem tudok alkalmas deltát adni, akkor nem beszélünk határértékről. Eddig jól értem?
Tegyük fel hogy nekem van egy függvényem, és egy határértéke adott helyen, de még nem bizonyított és bizonyítani szeretném definíció alapján. Tehát megadok egy tetszőleges epsilont, és ehhez keresek alkalmas deltát. Tehát olyan deltát keresek hogy 0<|x-a|<delta esetén |f(x)-A|<eps. De mi van ha f(x) folytonos x=a helyen? Ebből az következik hogy akármilyen deltát hozok fel, 0<|x-a|<delta mindig hamis lesz. Ettől függetlenül az implikáció még igaz lehet, sőt biztos hogy igaz. És mi van akkor, ha a függvénynek mégse határértéke A? Ekkor hamis=>hamis, tehát az implikáció fennáll.
"Vagy a szükséges-elégséges feltétel miatt alkalmazzák az implikációt?
0<|x-a|<delta elégséges feltétele |f(x)-A|<eps -nek
|f(x)-A|<eps-nak szükséges feltétele 0<|x-a|<delta"
Ez a szükséges-elégséges feltétel akkor nem játszik ugye?
Köszönöm a válaszokat, üdv
válasza:Nem, kérdező, nem jól érted, ezt a fogalmazásmódod bizonyítja. A matematikában van egy zsargon, ha nem azt használod (mert például nem érted), akkor rendkívül körülményesen tudsz csak fogalmazni.
Maradjunk a függvényeknél. Felejtsd el, hogy veszel egy epszilont. MINDEN epszilont kell venni. Csak a nagyok érdektelenek, mert azt kell megmutatni, hogy a függvény a határértékhez tart. És minden epszilonhoz van delta. Ha már egy van, akkor a többi nem érdekes! Határértékről akkor beszélünk, ha minden epszilonhoz létezik delta.
A bizonyítás a konkrét függvény sajátosságainak kihasználásával történik, és azt kell megmutatni, hogy tetszőleges epszilonhoz van olyan delta, amelyre a határértékpont delta sugarú környezetében minden függvényérték epszilonnál közelebb van a határértékhez. Ha te azt kérdezed, hogy mi van, ha folytonos a függvény az "a" helyen, akkor semmit sem értesz (legalábbis a fogalmat nem). Az van, hogy ott folytonosnak KELL LENNIE. Különben a véges helyen vett véges határérték nem értelmezhető! Így szól a definíció. Ezt nem bizonyítani kell, hanem megérteni. Definíciót nem bizonyítunk! Tételt (állítást) bizonyítunk. Hagyd már békén azt a szegény implikációt.
"Nem, kérdező, nem jól érted"
Melyikre érted hogy nem jól? A számsorozat határértéke, addig jó?
Oké, nagyon köszönöm az eddigi segítségeteket, még egyetlen dologra válaszoljatok pls:
(x=x0 helyen nézzük a határértéket)
Ha adott epsilohoz keresek deltát, akkor megoldom az |f(x)-A|<eps egyenlőtlenséget, amire kapok egy (a;b) intervallumot. Ezután keresek deltát, melyre (x0-delta;x0+delta) részintervalluma (a;b)-nek. 1. kérdés: Ezt nem értem hogy miért? Az (a;b) intervallum az A környezete, ami a függőleges tengelyen van. Az (x0-delta;x0+delta) pedig a vízszintes tengelyen van. 2. kérdés: Intervallumok között hogyan értelmezhető a részintervallum művelet ha nem ugyanazon a tengelyen vannak?
Ha még erre a két kérdésre válaszolnátok, megköszönném. Bocsánat h az előbbiekben kínlódtam, csak az implikáció bezavart, de mostmár tiszta.
Köszönöm, üdv
válasza:x, a, delta a vízszintes tengelyre vonatkoznak, míg f(x), A, epsilon a függőleges tengelyre. Mi nem világos?
Adott egy epsilon, ehhez |f(x)-A|<epsilon megoldásait keresed meg, ami x-ek egy halmaza lesz. Akkor van határérték, ha minden epsilon esetén lesz "a"-nak egy pontozott környezete, ami megoldás, tehát lesz olyan delta, hogy minden 0<|x-a|<delta esetén x megoldás.
Másképp fogalmazva minden epszilonhoz van olyan delta úgy, hogy az alábbi állítás igaz: minden x eleme [a-delta,a+delta]\{a} esetén f(x) eleme [A-epsilon,A+epsilon].
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!