Mennyi a három szám szorzata?

Erre fel lehet írni egy háromismeretlenes egyenletrendszert:

c*(a+b) = 35

a*(b+c) = 32

b*(a+c) = 27

Ezekből ki tudod számolni a-t, b-t és c-t, amiket aztán összeszorzol.

A megoldást nem mondom el :)

Ehhez a feladathoz nem feltétlenül kell szisztematikusan végigoldani az egyenletrendszert, csak egy kis szemfülesség kell hozzá.

Először is észre kell venni, hogy az „első” „második” és „harmadik” természetes szám növekvő sorrendbe rakható, teljesen mindegy hogy a feladat milyen sorrendre gondolt eredetileg. Tehát legyen a három szám A, B és C növekvő sorrendben. A legnagyobb szorzat (35) az lesz, ahol a legnagyobb a „különálló” szorzó, azaz a C, a legkisebb (27) pedig pont fordítva. Ezt be lehet bizonyítani, ha akarod leírom. Polinomos szorzással bizonyítható.

Tehát (A+B)*C = 35

Azt is észre kell venni, hogy a 35 két prímszám szorzata, azaz 5*7, így C vagy 5, vagy pedig 7, és a másik szám az (A+B) összeg. (Persze 35 elvileg 1*35 is lehetne, de mivel C nem lehet 1, mert akkor nem lehetne a legnagyobb, és az összeg sem lehet 1, mert akkor nem lehet természetes számok összege.)

Tehát eddig ezt tudjuk:

C=5; A+B=7

VAGY PEDIG

C=7; A+B=5

Nézzük tovább.

A középső szorzat prímtényezői 2*2*2*2*2, ez alapján csak úgy lehet, ha mindkettő szorzó páros. A lehetőségek egyébként: 2*16 és 4*8; vagy fordítva: 8*4 és 16*2. Természetesen itt is kizárhatjuk az 1*32 szorzatot, ahogy fent.

Azaz:

B*(A+C) = 32, ahol B ÉS (A+C) páros.

C-ről és A-ról most már tudjuk, hogy páratlan. (C azért mert vagy 5 vagy 7, A pedig azért, mert A+C csak akkor páros, ha vagy mindkettő páratlan, vagy mindkettő páros. Tehát C miatt A is páratlan)

A harmadik szorzat pedig 27-et ad, aminek a prímtényezős felbontása 3*3*3, így kéttagú szorzatként csakis 3*9 lehet. Ez esetben is ki lehet zárni az 1*27 szorzatot, mert akkor B vagy 22 (ha C = 5), vagy pedig 20 (ha C = 7), márpedig ezt kizártuk, hiszen C a legnagyobb.

Tehát A értéke vagy 9, vagy pedig 3, de 9-et kizárhatjuk, mert C a legnagyobb, C pedig vagy 5, vagy 7.

Így már fix, hogy A = 3

Az első egyenletből tudjuk, hogy A+B = 5, ha C = 7. Ez nem lehet, mert ekkor B = 2, márpedig leszögeztük, hogy B nagyobb, mint A.

Akkor C = 5 és A+B = 7, ez esetben B = 4. Minden stimmel, mindenki boldog.

Vagyis a keresett számhármas az 3, 4; 5.

Nem állítom, hogy ez a megoldás szebb vagy jobb, mint az általánosítás, mert ez egy konkrét speciális esetre vonatkozik, míg az egyenletrendszerrel bármilyen számhármasra megoldható. Viszont ezzel a megoldással alsóbb osztályos matek tudással (prímtényező, páros-páratlan és polinomok szorzata) megoldható.