Három prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három szám?

Szerintem az első prím számokkal ki kell próbálni:

2, 3, 5 Összege: 10, Szorzata: 30 Csak háromszoros.

3, 5, 7 Összege: 15, Szorzata: 105. Már hétszeres.

2, 5, 7 ? ? ?

mivel a három prímszám szorzata egyenlő valaminek az ötszörösével, tehát osztható 5tel, és mivel prímszámokról beszélünk, ez csak úgy lehet, hogy az egyik prímszám az 5.

Akkor a másik két prímszámot jelölje X és Y, és tudjuk, hogy 5XY = 5(5+X+Y). Egyszerűsítve 5-tel XY = 5+X+Y.

Ebből következik, hogy 5+X+Y osztható X-szel és Y-szal, tehát 5+X osztható Y-nal. Tegyük fel, hogy az Y nagyobb egyenlő, mint az X (így nevezzük el őket). Ekkor az, hogy 5+X osztható Y-nal azt jelenti, hogy 5+X=Y, vagy ha 5+X = k*Y (ahol k=>2 egész), akkor Y max. 5 lehet, hiszen X<=Y.

A második esetben X és Y is a 2,3,5 közül kerülhetnek ki, de azok közül nincs jó megoldás, ami teljesíteni az XY=5+X+Y összefüggést, tehát kijött, hgoy 5+X=Y.

Ezt behelyettesítjük: X(5+X) = 5+X+(5+X), egyszerűsítve

X^2 + 3X - 10, megoldva ez X=-5,2 ezek közül a -5 nem lehet (negatív számokat nem szoktunk prímeknek nevezni, meg akkor Y=0 lenne), tehát csak a 2 lehet a jó X-re.

Így az Y=7-nek kell lennie, és erre valóban teljesül is az összefüggés.

Tehát az egyetlen jó megoldás a 2,5,7

A három prím legyen p,q,r

Szorzatuk valaminek az ötszöröse, az csak úgy lehet, ha az egyik prím az 5. Mondjuk r=5.

p·q·5 = (p+q+5)·5

p·q = p+q+5

p·q-p = q+5

p·(q-1) = q+5

jobb oldalt is próbáljuk (q-1)·x alakra hozni:

p·(q-1) = q-1+6

p·(q-1) = (q-1)·(1 + 6/(q-1))

6/(q-1) egész kell legyen, ez csak q=2, 3 vagy 7 esetén teljesül:

Ha q=2, akkor 1+6/(q-1) = 7, tehát p=7, megoldás.

Ha q=3, akkor 1+6/(q-1) = 4, nem prím

Ha q=7, akkor 1+6/(q-1) = 2, tehát p=2, ez ugyanaz a megoldás.

Vagyis a három prím: 2, 5, 7

Az előző sor ez volt:

p·(q-1) = q-1+6

jobb oldalból emelünk ki (q-1)-et. A (q-1)-ből lehet, de a 6-ból is kell:

p·(q-1) = (q-1)·1 + (q-1)·6/(q-1)

Abból jött a 6/(q-1)

Utána a közös tényezőt kiemeltem:

p·(q-1) = (q-1)·(1 + 6/(q-1))

Most már érted?