Algebrai törtes egyenleteknél mi alapján van az, hogy néha előjelt váltunk (általában amikor jó sok tagú az egyenlet?)

Például ide tehetsz fel képeket:

[link]

[link]

[link]

Teljesen leírva ezt csinálta:

(x–3)(x+3)·[–2/(3–x)]=(x–3)(x+3)·[2/(x–3)]=2(x+3)

Ha a nevezőben nem vált előjelet, akkor:

(x–3)(x+3)·[–2/(3–x)]=2(x+3)·[–(x–3)/(3–x)]=2(x+3)·[(–x+3)/(3–x)]=2(x+3)

Mindkét módszerrel azonos lesz az eredmény, de az első áttekinthetőbb és egyszerűbb.

a²-b²=(a+b)*(a-b) egy nevezetes azonosság szóval azért lett (x-3)(x+3) az x²-9-ből.

A másiknál pedig fontos tudni, hogy: -(a/b)=(-a)/b=a/(-b)

Szóval annál meg azért lehetett úgy átírni.

„de mi van akkor, ha 3-x, de pozitív?”

Akkor ez lenne:

(x–3)(x+3)·2/(3–x)=(x–3)(x+3)·[−2/(x–3)]=−2(x+3)

Vagyis itt is érdemes megfordítani a nevező előjelét és a tört elé mínusz jelet írni.

A nevezők ezek: x^2-9, 3+x, x+3, 3-x

Első körben észrevesszük, hogy az x^2-9 felírható (x+3)*(x-3) alakban. Ha mindenhol máshol (x+3) vagy (x-3) lenne, akkor már látható lenne, hogy közös nevezőnek jó lesz az (x+3)*(x-3)

A (3+x)-ből könnyedén tudunk csinálni (x+3)-at, mivel az összeg tagjai felcserélhetőek.

A (3-x) esetén már nem ennyire egyszerű a helyzet,, mivel a cserével egy teljesen másik számot kapnánk. Például 3-1=2, de 1-3=-2. Azt látjuk, hogy ha felcseréljük a sorrendet, akkor az eredeti szám ellentettjét kapjuk, tehát ha elé teszünk egy mínuszt, akkor visszakapjuk az eredetit. Maradva a példánál, 3-1=-(1-3), a kifejezésben pedig (3-x)=-(x-3)

Tehát itt tartunk az utolsó törtben: - 2/(-(-x-3))

Innen többféleképpen tovább lehet menni, de a legegyszerűbb az, hogy a negatívat bevisszük a számlálóba: (-2)/(-(x-3)), majd ezt a törtet tudjuk egyszerűsíteni (-1)-gyel, így azt kapjuk, hogy +2/(x-3), és emiatt változik ott az előjel.