Mi szukseg a differencial egyenletre? Mi az amit a hagyomanyos egyenletekkel nem lehet megoldani?

Röviden parasztosan. Ha a megoldandó egyenlet legalább egy paraméterének értéke függ az egyenlet megoldásától.

Például a termodinamikában sok anyag fajhője függ a hőmérséklettől. Ha nem elégedhetünk meg közelítő megoldással, akkor differenciál egyenletet kell felírni.

Ez komoly kérdés? Ha egy jelenséget differenciálhányadossal tudunk leírni, akkor nem tudjuk anélkül leírni... :D

Egy példa a radioaktív bomlás ebessége, amely... nézz utána.

Ebben találsz fizikai feladatokat, mindegyik egy-egy példa a kérdésedre.

[link]

Csak kettőt idézek:

"Egy 100 literes vízzel teletöltött tartályban 4 gramm klórmész van oldott állapotban. A

tartályban 5 [1/perc] sebességgel tiszta víz folyik be, és ugyanilyen sebességgel folyik ki az

oldat a túlfolyón. Mennyi lesz a víz klórmésztartalma fél óra múlva, ha biztosítjuk az

egyenletes eloszlást?"

"A kemencéből kivett kenyér hőmérséklete 20 perc alatt a kezdeti 100°C-ról 60°C-ra csökken.

A hűlés kezdetétől számítva mennyi idő múlva hűl a kenyér 30°C-ra, ha a környezet

hőmérséklete 25°C?"

Ha van egy nemlineáris függvényed és szélsőértékek keresése a feladat, diff.számítás nélkül vagy izzasztó, vagy lehetetlen a megoldás.

Maga a diff.hányados amúgy egy nagyon egyszerű, könnyen érthető dolog, ami iszonyat sok dologra jó.

Ha belegondolsz, hogy a diff.hányados az adott függvény meredeksége megadható pontokban, magad is kitalálhatsz ezernyi alkalmazást.

Remek a nullára pontozás. Kösz.

TUDOM, hogy nem sima deriválásról, hanem diffegyenletről van szó, de a kérdező érdeklődéséből feltételezhető tudásszinten induljunk már egy fokkal lejjebb.

Konkrétan pedig igenis a diff. hányados jelentése az egész történet lényege.

#2-es lepontozását sem értem.

Ugyan tény, hogy sok olyan folyamat van, amit nem kell diff.egyenlettel leírni, a vele kapcsolatos kérdések megválaszolásához viszont kellhet.

Most nekem például a légkörben zuhanás jelensége ugrik be, ha figyelembe veszem a légsűrűség és gravitáció magasság szerinti változását is, akkor diff.egyenlet kell már a zuhanás leírásához is, de ha a grav. állandót és a légsűrűséget fixnek veszem, esetlegesen csak mondjuk a terminal velocity számításhoz kell diff.egyenlet.

Elektronikában is hasznos, az energiatárolós (kondi, tekercs) áramkörök viselkedésének leírásában. Ezekre mondjuk Laplace bácsi talált egyszerűsítést, de az is diff.egyenleteken alapul.

Pl: [link]

Sőt elektrosztatikában is már igen fontos.

Asztrofizikában meg aztán végképp.

Enélkül aztán nem lenne műholdpálya-számítás egy darab se.

Minden képzeletet felűlmúl néha hogy itt hogyan mennek a pontozások.

A kérdezőnek pedig: Fordítsuk meg a kérdést! Mi az, amit hagyományos egyenletekkel meg lehet oldani?

Válasz: Kb. azokat a fizika példákat, amelyek a valóságtól teljesen elrugaszkodottak és a középiskolai tankönyvekben képletként szerepel a megoldás.

1,Hol van a valóságban egyenesvonalú egyenletes mozgás? -Sehol!

2,Hol van a valóságban homogén erőtér? -Sehol!

3,Hol van a valóságban tökéletes termikus kölcsönhatás? -Sehol!

4,Hol van a valóságban tökéletes rugalmas vagy rugalmatlan ütközés? -Sehol!

5, Hol van a valóságban ideális gáz? -Sehol!

6, A sort lehetne folytatni a végtelenségig.

A valóságban az van, hogy a vizsgálandó (műszaki) problémát modellezzük. Elhanyagolásokat és kikötéseket teszünk, azaz megszorításokkal élünk.

A differenciálegyenletek igazából ott kerülnek előtérbe, amikor a műszaki számítások során már nem nyújtanak elegendő pontosságot a középiskolai leegyszerűsített képletek, és ezen túl kell menni.

Érthető is, hiszen középiskolás képletekkel hogyan is mondanánk meg azt pl. hogy

1, egy jármű aerodinamikai szempontból mikor lesz optimális

2, egy hőcserélőt hogyan kell optimálisan méretezni maximális gazdaságosság mellett

3, egy gép hajtásrendszerét hogyan tervezzük, hogy minimális hely, súly és veszteségigény mellett a hatásfok maximális legyen

és a sor megintcsak folytatható...

A valóság meg annyira bonyolult hogy sok esetben számítógépes szimulációk szükségesek a tervezéshez. Lásd pl. végeselemes módszerek.

Szóval az egész világban minden amit látsz differenciálegyenlet. És nem csak lineáris egyenlet, meg elsőrendű, meg az egyszerűbbek. Hanem ennél sokkal bonyolultabb a valóság. ott van pl. a Scharnitzky -féle differenciálegyenletek könyv, van vagy 300-400 oldal, ahol amiben a megoldásokat ismertetik. De ez nem elég! A valóságnak ez csak az 5-10%-a, mert a maradék >90%-ra nincs is zárt alakú megoldás. Mert nem létezik.

Ezért vannak a numerikus módszerek.

Persze mindez egy átlagos felhasználó számára rejtve marad. hiszen ki gondolná azt hogy a gépkocsigyártók is micsoda nagy harcot küzdenek hogy csökkentsék a jármű tömegét, minimalizálják az üzemanyagfelhasználást, optimalizálják a járműprofilt áramlástanilag, vagy éppen a legújabb és modern okostelefonokat százféle applikációval lássák el a fejlesztők. Ki gondolná pl. azt hogy az új vezetőnélküli metrók úgy vannak optimalzálva hogy a legkisebb energiabefektetés árán közlekedhessenek egyik állomásról a másikra. A korszerű vasutak is eszerint vannak optimalizálva. Lásd gyorsvasut külföldön. 400-500km/h sebességek. Ezek mögött rengeteg műszaki fejlesztés van és matematikai számítás, beleértve a differenciálegyenleteket. Pl. átlagos ember közül ki a fene gondolná azt, hogy vasúti járműkerekekre külön számításokat végeznek hogy optimális legyen a gördülés, simán fusson a sínen és így a zajkibocsájtás is minimális legyen. Vagy pl. ki gondolná hogy amikor fékez a vonat, micsoda számításokat csinálnak arra hogy a fékpofa hogyan melegszik, súrlódás, hőtani numerikus szimuláció minden.

Az persze csak egy mellékes dolog, hogy ezek külföldre igazak, mert ahelyett hogy a magyar vasutat fejlesztették volna az utóbbi 30 évben, helyette építettek egy csomó felesleges autópályát amelyekből kilopták az anyagot szóval kuka nagy része mert pár év után elég nagy a minőségromlás...