Differenciál egyenletek megoldásakor milyen esetben kell homogén megoldást, majd partikulárist számolni?

Leginkább akkor, ha az egyenlet inhomogén…

Az első példád homogén első rendű egyenlet, és szeparálható.

[link]

dy/dx = –x*y^2,

dy/y^2 = –x*dx.

A másik egyenletet elírtad (hiányzik az egyenlőségjel), de az is lineáris y-ban, viszont ott van egy y-t nem tartalmazó tag, ami miatt inhomogén.

[link]

Meg persze szerencsés esetekben néha észre lehet venni dolgokat, és akkor megúszod a sok számolást, szóval gondolkozni ér; de ha nincs ötleted, akkor neki kell menni a jól begyakorolt általános módszerrel, mert különben eltelik az időd.

A differenciálegyenletek ott kezdődnek, hogy osztályozni megtanuljuk őket.

Ha ez megvan, akkor az egyes típusokhoz tartozó módszereket alkalmazzuk.

A te esetedben -ahogy az előző válaszoló rámutatott- a lényeg abban van, hogy a homogén és inhomogén egyenleteket felismered -e. Ehhez persze kéne tudnod az elsőrendű egyenletek standard alakját. Az inhomogén tagot (zavarás) a jobb oldalra rendezzük.

Javaslom Scharnitzky: Differenciálegyenletek c.könyvét, abban sok példát találsz az egyenletek osztályozására és a módszerekre.

Pl. a te inhomogén egyenletedre én kapásból nyolc különböző analitikus módszert tudok így fejből, a fent említett könyvben ebből hármat megtalálhatsz.

dy/dx = y*7*cos(x),

dy/y = 7*cos(x)*dx,

ln(y) = 7*sin(x) + C,

y = exp(7*sin(x) + C) = c*e^(7*sin(x)).

Vagy félreértettem valamit?

Esetleg még azt tudom elképzelni, hogy gyakoroltatni akarják, hogy 'így' oldd meg, és az nem baj, ha más módszerrel is ellenőrizni tudod magad. De annyira ne izgulj, ZH-ra menjen a módszer, mélységében úgy is meg csak majd akkor érted meg, ha sokat használod.

A standard alakokat tanuld meg.

Tehát: y'(x)+q(x)*y(x)=r(x). Ez a standard alakja a lineáris egyenleteknek, tehát ilyen alakra kell hozni. Addig rendezed az egyenletet, amíg ilyen nem lesz.

A homogén egyenlet azt jelenti, hogy r(x)=0. Egyéb esetben inhomogén.

"Amit nem értek, az az, hogy pl. a következő egyenletet miért lehet pár sorban megoldani partikulásis meg minden egyéb dolog nélkül: y' = y * 7cosx"

Ezt is hozhatod standard alakra:

y'-7cosx*y = 0. Látjuk, hogy ez az egyenlet homogén.

Ismeretes hogy az y'(x)+q(x)*y(x)=0 homogén egyenlet megoldása exponenciális próbafüggvény alakjában kereshető.

Azaz a próbafüggvény e^[p(x)] alakú.Helyettesítsük ezt vissza:

p'(x)*e^[p(x)] + q(x)*e^[p(x)] = 0.

Látjuk, hogy az exponenciális tényezővel oszthatunk:

p'(x)+q(x) = 0.

Ez pedig már egy közönséges integrálási feladat:

p(x) = integrál[-q(x)dx] = - integrál[q(x)dx]

Vagyis az általános megoldás:

y(x) = e^{-integrál[q(x)dx]}

Nálad ugye q(x)=-7*cos(x) volt.

Persze úgy is jó, ahogy az előző válaszoló írta.

"Szia!

Látom, te érthetőbben el tudod magyarázni. Segítesz egy másik konkrét feladatban is, ha van időd és kedved?

Köszi"

Hát lássuk, írd ki a példát akár ide.

Ja és ne felejts el felpontozni, ha hasznos volt a válaszom. Újabban sajnos az a divat, hogy a helyes válaszok lepontozásra kerülnek. (Így gyakran én is).

De a mai napig nem fér a fejembe, hogy a lepontozás miért jó, vagy miért okoz örömet valakinek. (Vagy irigykednek a hozzá nem értők, de hát akkor meg tanulhatnának és ők is okosabbak lennének...)