Melyik az a legkisebb pozitív egész "n" szám amelyre igaz hogy "n" darab szám kiválasztásával az első 2020 pozitív egész szám közül biztosan lesz közülük kettő amelynek különbsége 4?

Érdemes a gondolkodást úgy kezdeni, hogy hányat lehet úgy választani, hogy semmiképp ne legyen a különbség 4; válasszunk ki egy számot, és nézzük meg, hogy hány számot zár ki a történetből. Ha például a 26-ot beválasztjuk, akkor mellé nem mehet a 22 és a 30, tehát 1 szám 2 másikat tud kizárni, kivéve akkor, hogyha a számhalmaz széléről választunk; ha az 1-et választjuk ki, akkor az csak az 5-öt üti ki.

Mi most arra hajtunk, hogy minél több szám kerülhessen be, ezért válasszuk ki a szélén lévő számokat:

1,2,3,4, kiesnek: 5,6,4,8

9,10,11,12, kiesnek: 13,14,15,16

17,18,19,20, kiesnek: 21,22,23,24

25,26,27,28, kiesnek: 29,30,31,32

...

Amit észrevehetünk, hogy a kiválasztott számnégyesek utolsó száma mindig 4*páratlan alakú. Ennek megfelelően az utolsó két csoport így néz ki:

2009,2010,2011,2012, kiesnek: 2013,2014,2015,2016

2017,2018,2019,2020, kiesnek: elfogytak a számok.

Így már csak az a kérdés, hogy hány számot választottunk ki.

Arra érdemes rájönni, hogy a 2016-ig bezárólag a fél csoport ki lett választva, a másik fele meg nem, így a 2016/2=1008 szám lett kiválasztva. Ehhez még hozzájönnek a 2017,2018,2019,2020 számok, tehát 1008+4=1012 számot tudtunk sikeresen kiválasztani úgy, hogy semelyik kettőnek az összege nem 4. Ha viszont még egyet választunk azokból , amik kiestek, akkor a 4-es különbség garantálttá válik, tehát n=1013 kiválasztott szám esetén garantálható, hogy lesz olyan két szám, hogy azok különbsége 4.

De előfordulhat, hogy rossz volt a koncepciónk, és valójában n=1013-ra mégis lehet mutatni egy olyan kiválasztást, hogy semelyik két szám különbsége nem 4. Szóval innen még van dolgunk a feladattal, hogy belássuk, hogy valóban ez a legkisebb szám.

Az 1-gyel kezdődő első 2020 természetes számból 504 számpár képezhető, melyekre teljesül a feltétel, 1516, amelyre nem, tehát az 1517.- re igen.

Vagyis n=1517.