Egy matematikai formulára szeretnék választ kapni. Létezhet-e olyan pozitív egész négyzetes szám, amely másik két pozitív egész 4. hatványra emelt szám összege? Tehát: a^4 + b^4 = c^2 Összeadás, nem kivonás!!!

Első ránázásre annyi biztosan elmondható, hogy c nem lehet négyzetszám, mert ha c=k^2, akkor a^4+b^4=k^4, ennek pedig nincs pozitív egész megoldása; már korábban is ismert volt, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, de már az ilyen alakú egyenletek esetén a Fermat-Wiles-tételre szoktunk hivatkozni.

Beírtam a WolframAlphába, és nem adott ki egész eredményt. Azt nem tudom, hogy azért nem, mert nincs megoldása, vagy csak nem volt kedve kiírni, szóval ez önmagában nem jelent semmit.

Szerintem nincs megoldása.

Nézzük itt a 13. pontot:

[link]

Jobb oldalon négyzetszámot szeretnénk, úgy, a és b pozitív egész, tehát a szorzó tényezők különböző egész számok, melyeknek különbsége 2*gyök(2)*a*b ... és nincsenek ilyen különbségű egész számok.

Csak a triviális megoldások vannak (amikor van köztük nulla).

Ez egy klasszikus végtelen leszállásos feladat, a megoldás pl. itt olvasható:

[link]

A megoldáshoz felhasználják a pithagoraszi számhármasok explicit alakját, lsd. itt:

[link]

#5

Megjegyzés: ahogy írtad, az "a^4 + b^2 = c^4" egyenletnek is csak triviális megoldásai vannak egészekben. A Freud-könyvben is így van bebizonyítva a Fermat-tétel n=4-re, de aztán a fejezet végén kitűzi feladatnak azt, amit te kérdeztél (7.7.5. b,):

[link]

Ez így kétféle különböző bizonyítást ad a Fermat-tételre n=4 esetén (bár ezek nagyon hasonlóak).