Mi a kulonbseg az osztasnal a : vagy a / kozt?

Előjött a kedvenc vesszőparipám az általános iskolai matematikából. :-)

A szorzás kétoperandusú művelet. A szorzást félretéve a hatványozást nézve a hatványozás, mivel kétoperandusú művelet, ezért két inverz művelete van.

A teljes művelet: aᵇ = c

Ennek az inverz műveletei:

- Ahol „a” az ismeretlen, „b” és „c” adott. Ez a gyökvonás: a = ᵇ√c

- Ahol „b” az ismeretlen „a” és „c” adott. Ez a logaritmus: b = logₐ c

A kettőt külön-külön számon is tartjuk, hiszen a hatványozásnál a két operandus nem felcserélhető 2³ ≠ 3².

A szorzásnál viszont a két operandus felcserélhető: a*b = b*a. Így a két inverz művelet tulajdonképpen ugyanazt jelenti. Bizonyos esetekben nem csak számszerűen, hanem valós jelentéstartamában is. Pl. egy téglalap területénél hogy most a 3 cm-t szorzom meg a 2 cm-rel, vagy fordítva, az jelentéstartamában is mindegy.

De van a szorzásnak egy másik jelentéstartama, ez pedig a csoportosítás. Ha egy doboz gyufában 50 gyufaszál van, és nekem 7 doboz gyufám van, az 350 gyufaszál. De ez nem egyenértékű azzal, mintha 50 doboz gyufám lenne, mindegyik gyufásdobozban 7-7 gyufaszállal. Átrendezhető ilyenné is, de alapból nem ezt jelenti. Persze az, hogy hogy írom fel, az mindegy:

50 gyufaszál dobozonként * 7 doboz = 350 gyufaszál

7 doboz * 50 gyufaszál dobozonként = 350 gyufaszál

De ami itt fontos, hogy a szorzó és a szorzandó fizikai realitásában jelent mást.

És itt van az igazi különbség a szorzás kétféle inverz művelete között.

~ ~ ~

Az egyik inverz művelet az osztás. Ennek a jele a / jel.

350 / 7 = 50

Ha 350 gyufát 7 egyenlő részre osztok, akkor egy részben 50 gyufaszál lesz.

Tehát az osztás tulajdonképpen:

összdarabszám / csoportok száma = darab egy csoportban

Ha pöttyökkel kellene ábrázolni, akkor a 350 pötty közé úgy kellene vonalakat húzni, hogy azok egyenlő részekre osszák a teret, és meg kell nézni, hogy egy ilyen részben hány darab pötty van.

~ ~ ~

A szorzás másik inverz művelete a bennfoglalás. Ennek a jele a : jel.

350 : 50 = 7

Ha 350 gyufát 50-esével csoportosítok, akkor 7 kupac – doboz – gyufám lesz.

Tehát az osztás tulajdonképpen:

összdarabszám / darab egy csoportban = csoportok száma

Ha pöttyökkel kellene ábrázolni, akkor a 350 pöttyöt 50-esével be kellene karikázni, és megnézni, hogy összesen hány ilyen bekarikázott kupac van.

~ ~ ~

Ha az osztás és a bennfoglalás is számszerűen ugyanazt az eredményt adja, akkor mi a jelentősége a két művelet megkülönböztetésének? Osztani – fizikailag – csak egész számmal lehet. Jellegénél fogva ilyen a művelet. A bennfoglalás viszont értelmezhető nem egészekre is. A dolog pont a törteknél nyer jelentőséget, és sajnos pont ott is tűnik el az oktatásban a két művelet megkülönböztetése, és sokan pont itt vesztik el a fonalat a matematikában.

Mert mennyi négy osztva féllel? A gyerek rávágja, hogy kettő. Logikus, nem? Négyről van szó és itt felezni kell. De a tanár kijavítja, hogy na-na, nem szorozni kell, hanem osztani, a négy szorozva féllel az valóban kettő lenne, de itt nem szorozni kell féllel, hanem osztani. De akkor mégis mi a péket jelent féllel !osztani!? Nyilván a dolognak a gyerek fejében nincs értelme. Valahogy a fejébe verik, hogy itt ilyenkor nem osztani kell, hanem szorozni, négy osztva féllel, az nem kettő – ami logikusnak tűnne –, hanem nyolc. A gyerek nem fogalmazza meg, de a dolog számára abszurd, a matematika elveszíti a valós jelentéstartamát, valami bemagolandó dologgá válik, ami vissza kell öklendezni a feleletnél, dolgozatnál.

Mert ebben az esetben alapból a bennfoglalással kellene értelmezni a műveletet. Hányszor van meg a 4 tortában a fél torta? Első fél, második fél (már van egy egész tortánk), harmadik fél, negyedik fél (már két tortánk van), ötödik fél, hatodik fél (már három tortánk van), hetedik fél, nyolcadik fél, és már meg is van a négy egész tortánk. Négyben a fél megvan nyolcszor is.

Ha meglenne ez a stabil alap, amin keresztül kialakulna a szorzásnak és az osztásnak egy erős, fizikai realitással rendelkező képe, akkor szabadna elszakadni csak ettől a fizikai realitástól és általánosítani, absztrahálni a szorzás inverz műveletét, összevonni egyetlen közös műveletté, ahol már sem a szorzónak, sem a szorzandónak nem kell egésznek lennie, sőt el is lehet felejteni ezt a két fogalmat, és egyszerűen csak a szorzat tagjairól beszélni.

~ ~ ~

Tehát mi a különbség az osztás ( / ), és a bennfoglalás ( : ) között? Számszerűen semmi, a két művelet eredménye ugyanaz. De a kettő megkülönböztetésének megtartása – merthogy elsőben, másodikban megkülönböztetik a két műveletet – sokat segíthetne a törtek tanulásában, ennek ellenére valahogy a matektanárok sem érzik ennek az igazi jelentőségét.

Matematikailag, a valós számok körében ez egyetlen műveletnek két jelölése, nincs semmi különbség.

Alsó tagozat második osztályban a két jel két eltérő való életbeli probléma absztraháltját jelölheti. (Saját mintám alapján elhanyagolható mennyiségű ember használja vagy egyáltalán tud róla. Ha lenne felmérés, és elég kevesen vannak akik ismerik, azt is megkockáztatom hogy 'hibás' amit csinálnak, vagyis létező terminológiát használnak máshogy).

Pl itt olvashatsz a kétféle műveletről:

[link]

Az összeadás és a szorzás (fogalmilag és származtatása okán) felcserélhető művelet. A kivonás az összeadásnak, az osztás a szorzásnak inverz művelete. Ezek azért nem cserélhetők fel, mert itt az egyik operandus az (inverz) eredeti műveltének eredménye, míg a másik operandus az eredeti operandusok egyike.

Ez a matematikai tartalom.

A matematika modell, tehát sokféle valóságtartalommal ruházható fel, ettől függően más a jelentés, bizonyos műveletek fizikai valóságot reprezentálnak, amelyek némelyike így másmilyenek padig úgy viselkednek. No és persze a modelljüknek is tükröznie kell ezt.

Mindezektől független ezek ábrázolása. Egy fogalom, vagy a valóság valamely szeletének ábrázolása megállapodás kérdése. A lényeg mindig az, hogy egyértelmű legyen.Ebből következik, hogy a szorzásnál a * vagy × jel ekvivalens, ízlés kérdése, ki melyiket használja. Az osztásnál viszont a / terjedt el osztásjelként, mivel a : sok más szereppel is rendelkezik, ezért egyes esetekben félreérthető lehet, ami megengedhetetlen.

A lényeg az, hogy szándékaink kifejezésében az egyértelműségre és a megértésre törekszünk (hiszen ezért közlünk). Ennélfogva egy fogalomra olyan jelet használunk, amely a legkevésbé félreérthető. Ez pedig az, amit a legtöbben használnak.

Az általános ismeretek csökkenését mutatja az a jelenség, hogy egyre többen keresnek a legegyszerűbb tevékenységre is "szabályt". Ez a bizonytalanságunk miatt van, töméntelen szabályt akarunk megjegyezni, ahelyett, hogy ésszerű gondolkodásra törekednénk. Az emberi elme legfőbb előnye, hogy nem szabályban, hanem rendszerben, logikában képes gondolkodni. Ez hatékonyabb. Azonban ez csak akkor működik, ha megtanítják, gyakoroljuk, és készséggé válik. Ennek a tanításnak a hiánya miatt egyre gyengébbek iskoláink akkor is, ha szellemi olimpiai bajnokokat képesek produkálni. A gyengeség jele az, hogy az összetett gondolkodás nagy tömegben nem működik.