Osztásnál mi a különbség a bennfoglalás és a részekre osztás között?

Gyakorlatilag tényleg semmilyen különbség nincs a kettő között, osztani kell és jól van. Kicsit másmilyen kérdésre válaszol a kettő, ennyi. Ha sokszor elolvasod, amit leírtak, és erősen elgondolkozol a dolgon, akkor előbb-utóbb megérted, de én is elvoltam vele egy darabig, mikor tanultam, és semmi hátrányom nem származott belőle, hogy nem értettem a különbséget. 7. osztály után meg már a tanárok se tettek különbséget a kettő között. Meg például a program nyelvek nagy része csak az '/'-es (valós)osztást érti, szóval a ':'-ot egyáltalán nem bennfoglalásra használják.

(Viszont lehetnek olyan diákok, akik ezeken keresztül könnyebben megértik az osztást. Remélem, az osztást azt amúgy azért érted, mert ha nem, akkor ez a hozzászólásom lehet, hogy inkább káros volt…)

Hogy egymás kiegészítő párjai, azzal arra céloznak, hogy milyen érdekes már a következő tétel:

„Ha (b és c közül egyik sem nulla) és a = b*c, akkor a/b = c és a:c = b.”

(Az előző zárójelhez visszatérve nekem például a szinusz és koszinusz megjegyzésében segített, hogy utána néztem a szekánsnak és koszekánsnak is:

sin(α) = a/c,

cos(α) = b/c,

tg(α) = a/b,

ctg(α) = b/a,

cosec(a) = c/b,

sec(α) = c/a.

Természetesen a derékszögű háromszög oldalainak és szögeinek szokásos jelölését használva.)

Bennfoglalás: 60 : 10 = 6

Jelentése: Ha van 60 aranypénzem, abban hányszor van meg a 10 érme. Mondjuk ha egy kis zacskóban 10 aranyérmét teszek, akkor a 60 aranyérme hány zacskót tesz ki. Összesen 6 zacskót tudok megtölteni.

Osztás: 60 / 10 = 6

Jelentése: Ha van 60 érmém, és azt 10 egyenlő mennyiségű részre osztom és azt csomagolom zsákokba, akkor egy zsákba mennyi kerül? Ha a 60-at elosztom 10 egyenlő részre, akkor egy rész 6 arany lesz.

Egymás kiegészítője a két művelet, hiszen a 60 : 10 = 6 ugyanazt az részekre osztást fejezi ki, mint a 60 / 6 = 10.

Az általános iskola első osztályaiban szépen meg is különböztetik a kettőt. Persze hamar belátható, hogy a két teljesen eltérő művelet ugyanazt az eredményt fogja adni. Fura mód a törteknél kezd eltűnni ez a megkülönböztetés, pedig pont annak a megértésénél a legfontosabb.

Ugyanis az 3 / (1/2) értelmezhetetlen. Mi az, hogy valamit féllel osztok? Maximum elfelezni lehet valamit, ha osztásról van szó, de azt meg úgy írjuk, hogy 3 / 2. Nem csoda, hogy a „törttel való !osztás!” a legtöbb gyereknek érthetetlen matematikai bűvészkedés, mert általában rosszul tanítják.

Annak viszont van értelme, hogy mennyi 3 : (1/2). Ugye ez azt jelenti, hogy ha van három tortád, akkor abban hányszor van meg a fél torta, hány fél tortából tudod összeállítani a 3 egész tortát. Erre a válasz természetesen az, hogy 6 darabról van szó.

A gyerekek sokszor betanulják, hogy „törttel úgy osztunk, hogy a nevezővel szorzunk, a számlálóval osztunk”. De a legtöbb gyerek nem érti, hogy miért kellene így, ha elfelejtené a szabályt, akkor nem valószínű, hogy ki tudná silabizálni. Pedig ha megkülönböztetjük, hogy itt nem osztásról, hanem bennfoglalásról van szó, akkor könnyen megérthető. Ha nem 1/2 -et, hanem 1/4-et nézzük, hogy az hányszor van meg a 3-ban, akkor ugye fele akkora dolgokból kell felépíteni a tortát, tehát kétszer annyi kell belőle. Ha viszont azt nézzük, hogy 3/4 tortákból hány darab kell, akkor ugye háromszor akkora dolgokból kell építkezni, tehát logikus, hogy harmadannyi kell a három torta felépítéséhez.

Szóval a megfelelő absztrakció után lényegtelenné válik, hogy osztásról vagy bennfoglalásról van szó, és lényegtelen hogyan jelölöd. De a megértést nagyon segíti, ha meg tudod különböztetni a kettőt.

Még egy kis kiegészítés. Ha mértékegységeket is írunk, akkor megint könnyebb megérteni:

60 / 10 = 6

60 darab / 10 rész = 6 darab

60 : 10 = 6

60 darab / 10 darab = 6 rész

Osztás: darab / rész = darab

Bennfoglalás: darab / darab = rész

Azta...

Nem gondoltam volna, hogy 25 évesen tudom meg, hogy mi a külömbség. Szerintem nekem is rosszul tanították, mert a bennfoglalást soha nem értettem, nem is foglalkoztam vele, én csak az osztást értettem. Pedig nem vagyok hülye gyerek.

Köszönöm mind a kérdezőnek, mind a válaszolóknak, ma is tanultam. Persze ez nekem már lényegtelen, de ha majd a gyerekem odaér, így jóval egyszerűbben okíthatom a matematika rejtelmeire!

Osztás: elosztasz 20 szem cukorkát 5 felé.

Bennfoglalás: 20 forintból hány szem 5 forintos cukorkát tudsz venni? Azaz a 20-ban hányszor van meg az 5?

Technikailag nincs a kettő között különbség, ugyanúgy kell kiszámolni, ezért alsó tagozat második osztálytól kezdve a bennfoglalás fogalmát nem is használják.