Hogy lehet meghatározni egy egyenes forgáskúpba írt maximális térfogatú téglatest térfogatát a számtani- és mértani köpek közötti egyenlőséggel, ha csak a kúp alapkörének sugarát és a magasságát ismerjük?

Segítségképp: szimmetriaokok miatt a téglatestnek a kúp alaplapjával párhuzamos oldallapja négyzetek lesznek.

Sőt a téglatest egyik ilyen oldallapját a kúp alaplapja tartalmazza is.

Azaz elég vizsgálni a tengelymetszetet: van egy egyenlőszárú háromszöged, amelynek az alapja 2R magassága M. A téglatest magassága legyen H.

Arányosságok alapján kell gondolkodni. Egy rögzített R sugár és egy rögzített M magassághoz létezik többféle H, és a, ahol a a téglatest alaplapjának (négyzet) oldalhossza.

Arányosság alapján pl. fel lehet írni a következőt:

R/M=(R-a/2)/(M-H)

Valójában a feladat le fog egyszerűsödni síkbelivé, mert elég megmondani azt, hogy rögzített M és R mellett mikor lesz az a*H területű téglalap maximális.

Renélem ezekből megy már.

"Na és azt honnan mondjuk meg, hogy a téglatest ,,alaplapja" négyzet? "

Mondom, szimmetriaokok miatt következik. De! Egzaktul is lehet igazolni!

Végy egy R sugarú kört, amelybe egy a*b téglalapot írsz.

Mekkora legyen a és b, hogy a terület, azaz a*b a legnagyobb legyen? Nyílván az a=b eredménynek kell kijönnie, vagyis négyzet a keresett alakzat.

De jó hogy felhoztad ezt, legyen akkor az első feladatod, hogy ezt igazolod. Utána térjünk vissza a kúpos példára.

Téglatest egyébként akkor jönne ki, ha a kúp alaplapja ellipszis lenne. De ezt hagyjuk most...

Segítségképp a körbe írható téglalaphoz: A téglalap fél átlója éppen sugárnyi. Ezért az oldalak az alábbiak szerint írhatóak fel:

a=2*R*cos(alfa) és b=2*R*sin(alfa). Itt az alfa szög a két átló bezárt szögének a fele. (geometriailag kézenfekvő).

A terület ekkor:

T=4*R^2*sin(alfa)*cos(alfa).

A kétszeres szögekre vonatkozó trigonometriai azonosságból:

T=2*R^2*sin(2*alfa)

Mivel R=állandó, és nem zérus, így elég vizsgálni, hogy az

f: alfa->sin(2*alfa) függvény milyen alfa-ra lesz maximális. Nyílván alfa=45°a megoldás, így az átlók által bezárt szög 2*alfa=90°. Ez csak úgy lehet, ha az alakzat négyzet, azaz a=b.

Remélem világos.