Ezt a nehéz matematikai feladatot a számtani sorozatok összegének kiszámítása nélkül is ki lehet számolni?

a²-b² = (a+b)(a-b)

Pl. 1003²-1002² = (1003+1002)·1

Tehát

K=1003+1002+1001+1000+...+3+2+1

Ezt tudod hogyan kell kiszámolni?

K = 1003^2 - 1002^2 + 1001^2 - 1000^2 + … + 3^2 - 2^2 + 1^2

K = ?

------

Ezeket a képleteket fogjuk használni:

sum(a*x^2) = a*n*(n + 1)*(2*n + 1)/6

sum(a*x^2 + b*x + c) = a*n*(n + 1)*(2*n + 1)/6 + b*n*(n + 1)/2 + c*n

ahol:

n - a sorozat tagjainak száma

K = 1003^2 - 1002^2 + 1001^2 - 1000^2 + … + 3^2 - 2^2 + 1^2

K = 1003^2 + 1001^2 + … + 3^2 + 1^2 - 1002^2 - 1000^2 - ... - 2^2

K = (1003^2 + 1001^2 + … + 3^2 + 1^2) - (1002^2 + 1000^2 + ... + 2^2)

K = (1003^2 + 1001^2 + … + 3^2 + 1^2) - (1002^2 + 1000^2 + ... + 2^2)

K = Q - R

Q = (1003^2 + 1001^2 + … + 3^2 + 1^2)

R = (1002^2 + 1000^2 + ... + 2^2)

Q = (1003^2 + 1001^2 + … + 3^2 + 1^2) = sum((2*x - 1)^2) = sum((2*x - 1)*(2*x - 1)) = sum(4*x*x - 2*x - 2*x + 1) = sum(4*x^2 - 4*x + 1)

n = (1003 + 1)/2 = 502

a = 4

b = -4

c = 1

Q = sum(4*x^2 - 4*x + 1) = a*n*(n + 1)*(2*n + 1)/6 + b*n*(n + 1)/2 + c*n = 4*502*(502 + 1)*(2*502 + 1)/6 - 4*502*(502 + 1)/2 + 1*502 = 169179020 - 505012 + 502 = 168674510

R = (1002^2 + 1000^2 + ... + 2^2) = sum((2*x)^2) = sum((2^2)*(x^2)) = sum(4*x^2)

n = 1002/2 = 501

a = 4

R = sum(4*x^2) = a*n*(n + 1)*(2*n + 1)/6 = 4*501*(501 + 1)*(2*501 + 1)/6 = 168171004

K = Q - R

K = 168674510 - 168171004

K = 503506

Ha megfigyeljük az eredeti sorozatot, akkor látjuk, hogy a negatív számok előtt plusz jel van, a pozitív számok előtt mínusz jel van.

Ezért érdemes ezt a sorozatot két sorozatra bontani, negatív számokra és pozitív számokra.

Mivel a negatív számokból kétszer kevesebb van, mint az összes számból, ezért az n kétszer kisebb mint a sorozat legnagyobb tagja. Ez a pozitív számokra is vonatkozik.

Ezt a képletet: sum(a*x^2) = a*n*(n + 1)*(2*n + 1)/6

ezen az oldalon találtam:

[link]

(Nem todom, hogyan jutottak el ehez a képlethez.)

A sum() műveletet papiron a görög ábécé nagy szigma betűjével szokták jelölni.

[link]

Én sum()-mal jelöltem.

A sum() művelet összeadja a sorozat tagjait.

Egy kis trükkel:

Felírod eredeti meg fordított sorrendben is:

K=1003+1002+1001+1000+...+  3 +  2 +  1

K=1  +  2 +  3 + ...+1000+1001+1002+1003

aztán összeadod a kettőt függőlegesen:

2K = (1003+1)+(1002+2)+(1001+3)+...+(2+1002)+(1+1003)

Most jön az érdekes dolog: Mindegyik zárójelbe rakott összeg egyforma:

2K = 1004 + 1004 + ... + 1004

Ez tehát éppen 1003·1004

csak meg kell felezni a végén, mert ez 2K volt.

K=1003·1004/2