Összeadtunk ötvenöt egymást követő pozitív páratlan számot, az összeg értéke 3905. Melyik az összeadottak között a legkisebb olyan szám, amelynek a prímtényezős felbontásában két különböző prímszám szerepel, és a négyzete ötre végződik?

Számtani sorozat összegzési képletéből vissza lehet számolni a sorozatot.

Mivel a szám négyzete 5-re végződik, a négyzet osztható 5-tel, és mivel az 5 prímszám, a szám is osztható 5-tel. Megvan az egyik prímtényező. A másik nem lehet 5, ezért a 15, 35, 55, ... számok közül fog kikerülni.

Én így oldanám meg:

Legyen 53 darab 1-es (1+1+...+1), aztán még egy szám, ami teljesíti a prímtényezős feltételt (ez eddig 54 összeadott szám), a végén pedig hozzáadunk még egy számot, hogy 3905 legyen a végeredmény. Nincs ebben semmi bonyolult.

Ahogy a 2. mondja

55 szám van.

A középső legyen x.

A középső 3 szám kkor

x-2, x, x+2

A középső 5 szám:

x-4, x-2, x, x+2, x+4

Az 55 szám az 2*27+1

x-54,x-52,..., x-2, x, x+2,...,x+52,x+54

Ezek összege 55*x

x = 3905/55 = 71

x-54=17

x+54=115

Tehát a számok

17,19,21, stb.

'a négyzete ötre végződik?'

Magyarul csak 5-re végződhet.

25,35,45,...,115 közül valami.

Ezek közül kell megkeresned azt a legkisebbet, aminek 2 féle prímtényezője van.

25-nek kétféle van? NEM.

35-nek kétféle van? IGEN.

Akkor a válasz 35.

Nekem más ugrott be a feladat láttán. A módszer lényege nem más, mint az a - nem merem azt írni, hogy 'jól ismert' - tétel, miszerint:

az első n négyzetszám összege n²-tel egyenlő. (nagyon egyszerűen bizonyítható)

S(nu) = n²

A feladat azt írja, hogy "Összeadtunk ötvenöt egymást követő pozitív páratlan számot".

Ez nem jelenti azt, hogy az ELSŐ 55 számról van szó!

A fenti tétel segítségével le lehet ellenőrízni.

Az első 55 páratlan szám összege ugyanis

S(55u) = 55² = 3025

Ez azt jelenti, hogy valamelyik egynél nagyobb számnál kell elkezdeni az összegzést.

Legyen k az a szám, aminél nagyobb számnál kell kezdeni az összegzést, ami (k+1)-től 55 páratlan szám összeadását jelenti, majd ebből le kell vonni a 'k' számú szám összegét.

A tételet alkalmazva írható

(k + 55)² - k² = 3905

Négyzetre emelés után

k² + 110k + 3025 - k² = 3905

Összevonás után

110k = 3905 - 3025 = 880

Ebből

k = 880/110

k = 8

Ez azt jelenti, hogy az összegzés a 9-ik páratlan számtól a 8 + 55 = 63-ikig kell végezni.

Ellenőrzés

N = 63² - 8² = 3905, ami valóban a feladatban megadott összeg.

A kérdésre a választ a 9-k páratlan számtól kell keresni

A 9-k páratlan szám: 2*9 - 1 =17

Az ennél nagyobb, a feltételeknek megfelelő szám a 35

A prímfelbontása: 35 = 5*7 (két különböző prímszám)

A négyzete: 35² = 1225 (5-re végződő négyzet)

"És mi lenne a legegyszerűbb módja az összeadott számok feltérképezésének?"

Nem tudom, mire gondoltál ezzel a kérdéssel.

DeeDee

*********