Hogy? Van egy a és egy b literes vödrünk. A kútnál bármelyik vödröt színültig megtölthetjük vagy kiüríthetjük vízzel, bármelyik vödörből a másik vödröt teletölthetjük, illetve bármelyik vödörnek a teljes tartalmát átönthetjük a másik vödörbe.

Nem bizonyítás, mert most nincs kedvem átgondolni, de mutatok egy feladatot, ami valami ilyesmi lehet:

Van egy 9 literes és egy 4 literes vödrünk, és egy patak vize, amiből merhetünk. Nekünk pontosan 6 liter víz kellene. Hogyan tudjuk kimérni?

A megoldást pedig nem írom le még, hátha valakinek gondolkodni támad kedve. De ha kéritek, akkor majd megmutatom, hogyan lehet megoldani. :)

Mivel már ketten is kérték privátban a megoldást, bemásolom ide is:

1. A 4 literes vödör az etalon (Ez a hosszabb megoldás.)

A 4 l-es vödörrel elkezdjük töltögetni a 9 l-est. Kétszer teletöltjük, az 8 l; a 3. töltésnél csak 1 l-t tudunk áttölteni, így a 4 l-esben marad 3 l víz. Kiöntjük a 9 l-esből az összeset, beleöntjük a 3 l vizet; utána egyszer a teli vödröt (4 l), így 7 l lesz benne; ezután 2 l-t tudunk beletölteni, és a 4 l-esben marad 2 liter. Megint kiöntjük a nagyból az összes vizet, beletöltjük a kicsiből a 2 l vizet; majd újratöltés után az összeset, azaz 4 l-t, és így pont 6 l víz lesz a nagy vödörben.

2. A 9 literes vödör az etalon (Ez a rövidebb megoldás.)

A teletöltött 9 l-es vödörből 2-szer tudom teletölteni a 4 l-est, persze mindkét alkalommal kiöntöm az összes vizet; így a 3. alkalommal 1 l-t töltök a kicsibe, de azt nem öntöm ki belőle. Újból teletöltöm a 9 l-est, ebből 3 l-t tudok áttölteni a 4 l-esbe, tehát 6 l víz marad a nagyban.

Volt nemrég egy hasonló feladat, ha esetleg valakit érdekelnek ezek a fejtörők:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..

Üdv. :)

Járjunk el akövetkező módon. Minden alkalommal töltsük meg a b vödröt teljesen, majd töltsük át az a vödörbe a tartalmát. Amikor a vödör megtelik, akkor kiöntjük az egész tartalmát.

Ha sikerül ilyen módon b vödörben 1 liter vizet kimérni, akkor nyert ügyünk van, hiszen azt beletöltve az a vödörbe és megismételve az 1 liter víz megkapásához szükséges lépéseket már 2 liter vizet fogunk kapni, stb…

Tehát a kérdést le lehet fordítani így:

a és b relatív prímek.

Keressük azt az n és m pozitív egész számokat, ahol fennáll a következő egyenlet:

b*m+1 = a*n

Egyelőre eddig jutottam. De rég tanultam matekot és ez elég komoly feladatnak tűnik.

Itt tartottunk:

b*m + 1 = a*n

Ezt találtam: Bézout-tétel ( [link] )

Kimondja, hogy ha a és b egész számok lekisebb közös osztója d, akkor léteznek olyan x és y egész számok, ami esetén igaz a következő egyenlet:

ax + by = d

A mi egyenletünket nézve:

b*m + a*(-n) = 1

Mivel a és b relatív prímek, ezért 1 a legkisebb közös osztójuk, tehát léteznie kell olyan m-nek és n-nek, amire fennáll az egyenlet.

A Bézout-tétel bizonyítását kell már csak megkeresned, és készen is vagyunk. (Erre nem vállalkozom, lehet nekem magas lenne.)