Bizonyítsuk be, ha:a^2, b^2, c^2 számok számtani haladványt képeznek, akkor az 1/ (b+c),1/ (c+a),1/ (a+b) számhármasok számtani haladványok?

Én így bizonyítottam:

[link]

Elegánsabb, ha mindkét oldal módosítása helyett csak az egyeiket alakítjük, amíg ki nem jön a másik.

Ezért én így csinálnám, de az előző is teljesen korrekt.

A feladat az, hogy az

1/2 * [1/(a+b)+1/(b+c)]-t hozzuk egyszerűbb alakra,

ha meg van adva, hogy 2b^2 = a^2+c^2

Hozzuk közös nevezőre:

1/2 * [(a+b)+(b+c)]/[(a+b)*(b+c)]

1/2 * [a+2*b+c]/[(ab+ac+b^2+bc]

A nevezőben megjelent a b^2, nekünk a feltételben 2b^2 van, ezért behelyettesítés előtt az 1/2-es taggal végezzük el a szorzást:

(a+2*b+c)/[(2ab+2ac+2b^2+2bc] =

(a+2*b+c)/[(2ab+2ac+a^2+c^2+2bc]=

Most vegyük észre a nevezőben, hogy

2ac+a^2+c^2 = (a+c)^2

és 2ab+2bc-ből 2b kiemelhető.

(a+2*b+c)/[(a+c)^2+2b*(a+c)] =

a+c kiemelhető:

(a+2*b+c)/[(a+c)*(2b+a+c)]=

a+2b+c-vel lehet egyszerűsíteni

1/(a+c) azt kaptunk, amit szerettünk volna, ezzel kész a bizonyítás.

Bizonyítandó:

Ha

a², b², c² számtani sor

akkor

1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) is számtani sor

A számtani sorok tulajdonsága miatt

az első sor esetén

(a² + c²)/2 = b²

illetve

(A) a² + c² = 2b²

a második sor esetén

[1/(b+c) + 1/(a+b)]/2 = 1/(c+a)

illetve

(B) 1/(b+c) + 1/(a+b) = 2/(c+a)

Állítás: a két kifejezés (A) és (B)ekvivalens egymással, vagyis egymásba átalakítható.

A második sorból kiindulva

1/(b+c) + 1/(a+b) = 2/(c+a)

A jobb oldalt 2 részre bontva

1/(b+c) + 1/(a+b) = 1/(c+a) + 1/(c+a)

Átrendezve

1/(b+c) - 1/(c+a) = + 1/(c+a) - 1/(a+b)

Mindkét oldalon közös nevezőre hozva

(c + a - b - c)/[(b + c)(c + a)] = (a + b - c - a))/[(c + a)(a + b)]

Összevonás a számlálóban

(a - b)/[(b + c)(c + a)] = (b - c)/[(c + a)(a + b)]

Egyszerűsítés (c + a)-val

(a - b)/(b + c) = (b - c)/(a + b)

A törteket eltüntetve

(a - b)(a + b) = (b - c)(b + c)

A nevezetes szorzat miatt

a² - b² = b² - c²

Átrendezve a

a² + c² = 2b²

összefüggést kapjuk, bizonyítva ezzel a kiinduló állítást.

DeeDee

*********