Elő lehet állítani az 1-et 10 kül. Poz. Eg. Szám reciprokának összegeként?

Igen, pl. ezek reciprokainak összege:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 384, 768.

Az a lényeg abban, amit vurugya béla írt, hogy

1/2 = 1/3 + 1/6

Ha 10 szám kell, akkor veszünk az 1/2-es mértani sorozatból 8-at: 1/2-től 1/2⁸ = 1/256-ig. Ehhez még 1/256-ot kell hozzáadni, hogy 1 legyen. 1/256 = (1/2)/128, ezért (1/3)/128 és (1/6)/128 lesz a maradék 2 szám.

Nem tudom, #3 hogyan jött rá (mondd már meg), én mutatok egy újabb egyszerű módszert:

Ez könnyen belátható:

1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))

tehát pl: 1/2 = 1/3 + 1/6, ahogy már volt róla szó.

Vagy pl. 1/3 = 1/4 + 1/12

vagy 1/5 = 1/6 + 1/30

stb.

Ennek felhasználásával, 1/2+1/2-ből kiindulva adódik mondjuk ez: (a reciprokot nem írom)

Mindig az utolsó számot kettébontom a fenti képlet szerint: (tehát n-ből n+1 és n(n+1) lesz)

2, 2

2, 3, 6

2, 3, 7, 42

2, 3, 7, 43, 1806

stb. Most már nagyon nagy számok lennének, de működne ugyanígy tovább.

Persze felbonthatjuk a kisebbeket is. pl. kijöhet végül ez a 10 szám:

4, 5, 6, 7, 12, 13, 20, 43, 156, 1806

#3 hozzászólónak: zseniális! Le vagyok nyűgözve.

Van valami algoritmus, amivel rájöttél? Nagyon érdekel...

OK, találtam elég kicsikből állót én is. Valószínű, hogy a #3 volt az, aminek a legnagyobb eleme a legkisebb, és az átlaga is. Ez átlagban csak kicsit rosszabb, a legnagyobb elem viszont majdnem duplája az ottani legnagyobbnak:

5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 42

Hát persze, bocs, ez az utolsó előtti állapot, látszik, hogy hogyan kísérleteztem ki...

Kösz...

Mondhatjuk hogy van egy algoritmus, de sajnos ahhoz, hogy megtalálja a megoldásokat, számítógép kell, emberi számoláshoz ez az algoritmus alkalmatlan.

Kíváncsi voltam, hogy van-e olyan megoldás, amiben nincs olyan nagy szám, mint az első hozzászólásban levő megoldásnak.

A reciprokok elméleti átlag minimuma (ha lehetnének egyformák a számot) 1/10, vagyis a számok átlagának elméleti minimuma is 10.

Emiatt gondoltam, hogy több 10 vagy az alatti szám is belekerülhetne a tízbe, mint az első megoldásban szereplő három, így pedig a legnagyobb szám se lenne százas nagyságrendű.

Merthogy konkrétan azt a megoldást kerestem, aminél a 10 szám legnagyobbika a lehetséges legkisebb, erre írtam a megoldást, amiben a legnagyobb szám a 24. Ez egyébként az átlagot tekintve is a legkisebb, bár ennek nem kellene törvényszerűen következnie.

Úgyhogy én meg fejet hajtok előttetek, mert ti gép nélkül csináltátok meg!

Egyébként amikor elolvastam először a kérdést (akkor még nem volt válasz) és magamtól arra a következtetésre jutottam, hogy ennek a feladatnak nem is lehet megoldása :)

Találtam egy érdekes linket:

[link]

Ez is a te megoldásodat adja mint olyat, ami a legkisebb számokat használja. Bizonyára úgy írtad a programodat, hogy a legkisebbet találja meg először.

Ahogy keresgéltem, találtam más képleteket is, amivel lehet növelni a hosszat az előbb már használt 1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))-en kívül. Az első kettő az 1/2 = 1/3 + 1/6 mintáját használja:

1/n = 1/(2n) + 1/(3n) + 1/(6n)

ha n páros: 1/n = 1/(3n) + 1/(3n/2)

A harmadik teljesen más módszerrel megy: Ha van egy 1 = 1/a + 1/b + ... + 1/n összegünk, akkor eggyel hosszabb generálható így:

1 = 1/2 + 1/(2a) + 1/(2b) + ... + 1/(2n)

A legkisebb számokat úgy látom, nem ilyen módszerekkel lehet megtalálni, az valószínű csak programmal megy. A fenti linken lévő táblázatból az látszik, hogy néha ezek az általános képletek adják az eggyel hosszabbat, de néha egyediek, mint pl. 1/6=1/10+1/15, vagy olyan összetett is, hogy 1/6+1/12=1/7+1/14+1/28, stb.