Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a>0 pozitív számnak és reciprokának összege legalább 2?

Egy pozitív szám reciproka mindig pozitív, tehát ha a>2, akkor ahhoz hozzáadva egy pozitív számot, az is nagyobb lesz, mint 2.

Vagyis a feladatban csak azt kell bebizonyítanunk, hogy a=1 esetén is fennáll-e a kijelentés. Márpedig 1+1/1=1+1=2, tehát helyes.

Egy négyzet csak nemnegatív lehet:

(√a - (1/√a))² ≥ 0

A négyzetet kifejtve, átrendezés után épp a kérdezett egyenlőtlenséget kapjuk.

Mellesleg az is kiderül, hogy az egyenlőség kizárólag

√a - (1/√a) = 0,

azaz a=1 esetén áll fenn.

Feladat: igazolandó az (n + 1/n) ≥ 2 egyenlőtlenség

Legyen

a, b - két, nullánál nagyobb pozitív egész szám

és

n = a/b

ezekkel az igazolandó tétel megfogalmazása

S = a/b + b/a

A jobb oldalt közös nevezőre hozva

S = (a² + b²)/ab

A számlálót átalakítva (nullát hozzáadva 2ab - 2ab(=0) formájában)

S = (a² + b² + 2ab - 2ab)/ab

A zárójelben átcsoportosítva

S = [(a² - 2ab + b²) + 2ab]/ab

A kerek zárójelben teljes négyzet van

S = [(a - b)² + 2ab]/ab

Tagonként osztva kapjuk hogy

S = (a - b)²/ab + 2

ill. a sorrendet megfordítva a végeredmény

S = 2 + (a - b)²/ab

Q.E.D

Látható, hogy

- a második tag a ≠ b esetén mindig pozitív, így az összeg nagyobb kettőnél (S > 2)

- egyenlőség akkor áll fenn, ha a = b; mert ekkor a második tag nulla (S = 2)

Remélem, valami hasonlóra gondolt a kérdező. :-)

DeeDee

**********

Azt kell igazolni, hogy a+1/a >= 2

Beszorzunk a-val (a>0 miatt relációs jel nem fordul meg), átvisszük 2a-t a másik oldalra, majd összevonunk:

a^2+1>=2a,

a^2-2a+1>=0

(a-1)^2>=0

Ez pedig nyilván teljesül, tehát mivel ekvivalens átalakításokat alkalmaztunk, a kiinduló egyenlőtlenség is igaz.

Ennyi.