Lehet-e 2012 különböző pozitiv egész szám reciprokának összege 1?

Ez valamilyen versenyfeladat? Ha igen, illetlenség segítséget használni...

Abból lehet kiindulni, hogy 1/2 = 1/3 + 1/6

Ezt ki lehet terjeszteni más 1/páros számra is:

1/(2n) = 1/(3n) + 1/(6n)

A másik dolog, ami segít most, az ez:

1/2 = 1 - 1/2

1/2 + 1/4 = 1 - 1/4

1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 - 1/8

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1 - 1/16

...

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^k = 1 - 1/2^k

Ha a kettőt kombináljuk, akkor ki tudjuk fejezni az 1/2^k-t két reciprok összegeként.

Be tudod felyezni, ugye?

A felezgetéssel el lehet jutni eddig:

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^2010 = 1 - 1/2^2010

vagyis

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^2010 + 1/2^2010 = 1

Ez így 2011 darab reciprok, de van benne két azonos. Viszont az utolsó reciprokot felírhatjuk így az 1/3 meg az 1/6 segítségével:

1/2^2010 = 1/(2·2^2009)

1/(2·2^2009) = 1/(3·2^2009) + 1/(6·2^2009)

Ezt behelyettesítve már lesz 2012 darab különböző reciprokunk.

===

Más is kérdezte ezt a feladatot, olvasd el az ottani válaszokat is:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..