Melyek az x^2-3+i (1-3x) =0 egyenlet megoldásai?

Kibontod a zárójelet, majd rendezed ax^2+bx+c alakra:

x^2-3i*x+(i-3)=0

Erre felírod a megoldóképletet, gyököt vonsz, és meg is van.

Az a gyanúm, hogy a "gyököt vonsz, és meg is van" nem feltétlenül triviális.

x² - 3i·x + (i-3) = 0

x₁₂ = (3i ± √(-9 - 4(i-3)))/2

Vagyis √(3-4i) a kérdéses gyökvonás.

Összeadni, kivonni az algebrai alakban a legegyszerűbb, de osztani meg gyököt vonni jobb trigonometrikus vagy exponenciális alakban. Vagyis ki kell számolni a hosszat és az irányszöget.

z = 3 - 4i

r = √(3² + 4²) = 5

tg φ = -4/3

Ebből kijön, hogy φ=-53,13°, de az elég csúnya szám. A négyzetgyök irányszöge φ/2 lesz, és abból jön ki a szám:

√z = √5·(cos φ/2 + i·sin φ/2)

Szóval φ/2 szinusza meg koszinusza kell csak, azt pedig pontosan is ki tudjuk számolni:

sin φ/2 = ±√((1 - cosφ)/2)

cos φ/2 = ±√((1 + cosφ)/2)

Tudjuk, hogy cos φ = 3/5

sin φ/2 = ±√((5 - 3)/10) = ± 1/√5

cos φ/2 = ±√((5 + 3)/10) = ± 2/√5

Az előjel attól függ, mekkora a φ. Most -50 körül van, a fele -25 körül, amihez negatív szinusz és pozitív koszinusz tartozik.

sin φ/2 = -1/√5

cos φ/2 = 2/√5

√z = √5·(cos φ/2 + i·sin φ/2)

√z = √5·(2/√5 - i·1/√5)

√z = 2 - i

És most vissza a megoldóképlethez:

x₁₂ = (3i ± (2-i))/2

x₁ = 1 + i

x₂ = -1 + 2i

Bongolo, ezt egy kicsit "ágyúval verébre" megoldásnak érzem, és felteszem, hogy ha a Kérdező egy "egyszerű" másodfokú egyenletet nem tud megoldani, valószínű, hogy még csak Algebra1-nél jár, ott pedig így szokás megoldani:

√(3-4i)

Tegyük fel, hogy a keresett szám komplex, vagyis felírható a+bi alakban, ahol a;b valós számok (fontos, hogy ezek valósak), tehát

√(3-4i)=a+bi. Emeljük mindkét oldalt négyzetre (a jobb oldat NEM TAGONKÉNT, hanem az (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 képlettel emeljük négyzetre):

3-4i=a^2+2*a*bi+(bi)^2, vagyis

3-4i=a^2+2abi-b^2, rendezzük egy kicsit az oldalkat:

(3)-[4i]=(a^2-b^2)+[2abi]

A zárójelek csak szemléltetésnek vannak ott; mindkét oldalon egy-egy komplex szám áll, amik egy valós (), és egy képzetes [] részből állnak. Azt is tudjuk, hogy két komplex szám pontosan akkor egyenlő, hogyha ezek a részek egyenlőek a két számban, tehát

3=a^2-b^2

-4i=2abi

Ezeknek egyszerre kell teljesülniük, tehát egyenletrendszerbe foglalhatóak. A második egyenletben 2ia-val osztva a -2/a=b egyenlethez jutunk, ezt beírjuk az első egyenletben b helyére:

3=a^2-(-2/a)^2

3=a^2-4/a^2

3a^2=a^4-4

0=a^4-3a^2-4

Legyen a^2=d (de bármilyen másik szimbólum is lehetne), ekkor

0=d^2-3d-4

Ennek az egyenletnek a megoldása d(1;2)=(3+-gyök(25))/2

d1=(3+5)/2=4, d2=(3-5)/2=-1

Mivel a^2=d volt, ezért ezt írjuk vissza:

a^2=4, erre a1=2 és a2=-2 megoldást kapjuk, amire b1=-2/2=-1 és b2=-2/(-2)=1 megoldásokat kapjuk, vagyis

√(3-4i)=2-i és √(3-4i)=-2+i (négyzetre emeléssel lehet ellenőrizni, hogy jók-e).

a^2=-1, erre a=i és a=-i megoldásokat kapjuk, de mivel fentebb kikötöttük, hogy az a;b számok valósak, ezért ez nem vezet megoldáshoz.

Tehát √(3-4i) helyére beírod a kiszámítottakat, majd végigszámolod az x-hez.