Egy mértani sorozat első három tagjának összege 63. Ha az első taghoz 3-at adunk a harmadikból 30at levonunk akkor egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!?

Legyen az első három tag x, x*q, x*q^2, ekkor

x+x*q+x*q^2=63, kiemelünk, x-et:

x*(1+q+q^2)=63, erre

x=63/(1+q+q^2), tehát a sorozat első tagja 63/(1+q+q^2), második tagja 63*q/(1+q+q^2), harmadik tagja 63*q^2/(1+q+q^2). A feladat szerint ha az elsőhöz 3-at adunk, a másodikból levonunk 3-at, tehát a sorozat tagjai:

63/(1+q+q^2) +3 ; 63*q/(1+q+q^2) ; 63*q^2/(1+q+q^2) -30,

akkor egy számtani sorozatot kapunk. Egy számsorozat attól számtani, hogy a szomszédos tagok különbsége mindig ugyanannyi, vagyis

a2-a1=a3-a2, tehát

[63*q/(1+q+q^2)]-[63/(1+q+q^2) +3]=[63*q^2/(1+q+q^2) -30]-[63*q/(1+q+q^2)]

Szorozva a nevezővel egy sokkal barátságosabb egyenletet kapunk:

63*q-(63+3*(1+q+q^2))=63*q^2-30*(1+q+q^2)-63*q

Ebből egy másodfokú egyenletet fogunk kapni q-ra. Az egyenlet megoldása WolframAlphával:

[link]

q=1/4 és q=4, tehát két sorozatot tudunk ezzel definiálni.

Remélem, hogy az egyenletrendezés egyedül is menni fog és a sorozat meghatározása is.

Egyszerűbb (sokkal), ha a számtani sorozat felől közelítjük meg:

A számtani sorozat három elemének összege 63+3-30=36.

Emiatt a középső elem tudható: 12

A szt-sorozat elemeit felírjuk:

12-d; 12; 12+d

A mértani sorozat elemei tehát:

12-d-3; 12; 12+d+30

azaz

9-d; 12; 42+d

most felírjuk a három elem közötti összefüggést:

12^2=(9-d)(42+d)

ebből d=6 ill. d=-39 jön ki

a keresett elemek tehát:

3; 12; 48

vagy

48; 12; 3

köszönöm kedves utolsó! megértetted velem az egészet, nagyon logikusan vezetted le, és egyszerűen!

18/F