Négy szám közül az első három egy számtani, az utolsó három pedig egy mértani sorozat három szomszédos eleme. A két szélső öszege 22, a két középső összege 20. melyik ez a négy szám?

Ha a két középső összege 20, akkor a tagok felírhatóak a2=10-x és a3=10+x alakban. Ezek alapján a számtani sorozat differenciája d=a3-a2=(10+x)-(10-x)=2x, ez alapján a1=a2-d=10-x-2x=10-3x. Ugyanígy kiszámolható a hányados is: q=a3/a2=(10+x)/(10-x), érthető okokból x=/=10. Ezek alapján a4=a3*q=(10+x)*(10+x)/(10-x)=(10+x)^2/(10-x).

A feladat azt mondja, hogy a két szélső összege 22, vagyis

a1+a4=22. Nagy szenvedéssel, x függvényében meg tudtuk adni a1-et és a4-et, tehát:

10-3x+(10+x)^2/(10-x)=22, egyenletrendezés után egy másodfokú egyenletet kapunk, amit meg tudunk oldani. Te majd számold ki, én a WolframAlphával számoltatom:

x=2 és x=-5/2, ezzel két sorozatot tudunk definiálni:

Ha x=2, akkor a1=10-3*2=4, a2=10-2=8, a3=10+2=12, a4=(10+2)^2/(10-2)=18, a számtani sorozat differenciája d=4, hányadosa q=1,5.

Ha x=-5/2, akkor a1=10-3*(-5/2)=17,5, a2=10-(-5/2)=12,5, a3=10+(-5/2)=7,5, a4=(10+(-5/2))^2/(10-(-5/2))=4,5, a számtani sorozat differenciája d=-5, a mértani sorozat hányadosa q=0,6.

Ha valami nem világos, kérdezz!

(Természetesen máshogyan is el lehet indulni, én így csináltam.)