Lássuk be, hogy k darab egymást követő egész szám szorzata osztható k! -sal! (? )

A feladat adott, k=4-ig végig is csináltam, azonban nem igazán sikerül általánosítani.. :s Úgy gondolkoztam, hogy:

Legyen ez a k tényezős szorzat X, ekkor a k!|X pontosan ugyanaz, mintha:

k|X ; k-1|X/k ; k-2|X/(k*(k-1)) stbstb, és ezt próbáltam valamiféle teljes indukcióval megoldani (kihasználva X speciális tulajdonságait, stb.) Eddig jutottam:

k|X világos, hiszen X egy k tényezős szorzat, ahol a tényezők egymást követő egészek, szóval van köztük pontosan egy k-val osztható. k-1|X/k csak akkor okozna gondot, ha X tényezői közt pont ugyanaz lenne osztható k-1-gyel, mint k-val. Azonban ekkor sincs gond, hiszen van másik k-1 darab tényező, és ezek között világos, hogy lesz pontosan egy olyan, amelyik egy maradékosztályba tartozik ezzel a tényezővel (mod k-1). És itt akadok el, hogy k-2-nél hogy tudom garantálni, hogy legyen egy megfelelő maradékosztály a k-2-höz, ha már nem csak egy, de két tényező is "kiesett".. illetve hogy ezt hogyan tudom általánosítani..

Lehet, hogy nagyon kicsi hiányzik, azt is el tudom képzelni, hogy teljesen rossz irányba indultam el, aki tud erre egy érthető bizonyítást, vagy esetleg be tudja ezt fejezni, légyszi írja meg. Köszi

(Zöld ujjakra számíthattok ;d)