Igazold, hogy bármely 39 darab, egymást követő természetes szám között van olyan, amelyre igaz, hogy számjegyeinek összege osztható 11-gyel! Mi a megoldás?

Nézzünk mondjuk egy 0-ra végződő számot: xx0

(Itt az xx nem két egyforma számjegyet jelent, sőt, nem is két számjegyet, hanem bármi állhat helyette.)

Legyen az xx0 szám számjegyeinek az összege s. Akkor a rákövetkező számok számjegyeinek összege így alakul általában:

xx0 xx1 xx2 xx3 xx4 xx5 xx6 xx7 xx8  xx9

----- ---- ---- ----- ---- ----- ---- ----- ----- -----

  s    s+1 s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7   s+8  s+9

s+1 s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 s+8   s+9   s+10

s+2 s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 s+8 s+9   s+10 s+11

s+3 s+4 s+5 s+6 s+7 s+8 s+9 s+10 s+11

Vagyis az összegek minden lépésben 1-gyel nőnek, de a 9-re végződő számot követő összeg 8-cal kevesebb lesz.

39 számot írtam fel. Az összegben s és s+10 között minden előfordul, ami 11 egymást követő szám, közöttük valamelyik biztos, hogy osztható 11-gyel. Az első 20 szám (első 2 sor) is elég lenne.... az utolsó 2 sorban még s+11 is van, az majd később lesz érdekes.

Ha nem 0-ra végződik az első szám, hanem 1-től 9-ig bármire, akkor a második és harmadik sor kiadja s+1 és s+11 között mindegyik 11-féle összeget, azok valamelyike osztható 11-gyel. (Ilyenkor s nem a szám számjegyeinek az összege, hanem az utolsó számjegyet nem számolva a szám számjegyeinek az összege. Ezzel a módosítással nem kell külön táblázatot csinálni minden végződésre, mást nem érint a dolog.)

Viszont nem mindig így alakulnak az összegek. Ha ugyanis 99-re végződik valamelyik szám, akkor a következő számjegyeinek összege nem csak 8-cal, hanem még 9-cel is kevesebb lesz. Ha 999-re végződik, akkor 2·9-cel lesz még kevesebb, ha 9999-re végződik, akkor 3·9-cel, stb.

Csak azt kell néznünk, hogy mi van, ha a második sor utolsó számjegye végződik 99, 999, stb-re: a harmadik sor utolsó számjegye már végződhet, hisz ha az lenne a 99 stb., attól még az s+11-es számjegyösszeg igaz lenne.

A második sor önmaga kiad 10 egymást követő számot. Ha van köztük 11-gyel osztható, akkor készen vagyunk. Ha viszont nincs, akkor tetszőleges s + k·11 osztható lesz 11-gyel. Csak ilyet kell tehát mostantól keresnünk.

Ha a második sor utolsó száma 99-re végződik, akkor a harmadik sor s-7-tól s+2-ig tart, közte van s+0·11.

Ha 999-re végződik, akkor a harmadik sor s-16 és s-7 közötti, van ott s-11.

4 kilences: s-25 .. s-16, van ott s-22.

5 kilences: s-34 .. s-25, van ott s-33

6 kilences: s-43 .. s-34, ott viszont nincs s-k·11. Ezt kicsit jobban kell megnézni:

Ha xx0 alakú a kezdő szám, akkor magának a kezdő számnak a számjegyeinek az összege s+0·11, nincs is szükség a harmadik és negyedik sorra. Ha nem 0-ra végződik a kezdő szám, akkor pedig több szám is tartozik a 39-hez, legalább még egy biztosan. Alapesetben annak a számjegyösszege s+12. Az utolsó két sorban így s+2 és s+12 között minden előfordul. A 9999 miatt persze nem ezek lesznek az összegek, hanem ha k darab kilences van a szám végén, akkor d=9(k-1)-gyel kevesebb, vagyis s-d+2 és s-d+12 között minden. Bármekkora is d, ez 11 különböző egymást követő szám lesz, tehát lesz közte 11-gyel osztható.