Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő szám köbének összege osztható 9-cel?

Legyen a három szám n-1 ; n ; n+1, ekkor ezek köbösszege

(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=

=n^3-3n^2+3n-1+n^3+n^3+3n^2+3n+1=

=3n^3+6n, ezt bontsuk fel szorzatalakra:

=3*n*(n^2+2)

Ha n 3-mal osztható, akkor kész vagyunk, mivel 3*3 lesz a szorzatban, tehát osztható lesz 9-cel.

Ha n 3-mal osztva 1-et ad maradékul, vagyis 3k+1 alakú, akkor vizsgáljuk meg a harmadik tagot:

(3k+1)^2+2=9k^2+6k+1+2=9k^2+6k+3=3*(3k^2+2k+1), innen is sikerült kinyernünk a 3-as szorzót, tehát osztható lesz 9-cel.

Ha pedig n=3k+2 alakú, akkor (3k+2)^2+2=9k^2+12k+4+2=9k^2+12k+6=3*(3k^2+4k+2), innen is van egy hármasunk, tehát ebben az esetben is igaz lesz.

Más lehetőség nincs, így minden lehetőséget megvizsgáltunk, tehát valóban igaz az állítás.

Megjegyzés: meg lehet ugyanezt csinálni n ; n+1 ; n+2 (sőt, akármilyen hasonló alakú felírással), de ezért választottam a fentit, mivel így egy csomó tag kiesett, így kevesebbet kellett számolni. Ennek a meglátása persze rutinkérdés, de akárhogy írod is fel, és kijön, ugyanúgy egyenértékű lesz ezzel.

Teljes indukció?

tfh n-re igaz, hogy 9|n^3+(n+1)^3+(n+2)^3

n+1-re: Két szám egyszerre osztható kilenccel, ha a különbségük osztható kilenccel, ezt nem nehéz belátni. Tehát ha (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3-ből kivonjuk az előbbit, akkor csak azt kell vizsgálni, hogy 9|(n+3)^3-n^3 igaz-e. Felbontva n^3+3\cdot3n^2+9\cdot3^2n+3^3-n^3=9n^2+81n+27=9(n^2+9n+3), ami nyilvánvalóan osztható 9-cel. Innen már elég belátni, hogy n=0-ra teljesül-e: 0^3+1^3+2^3=0+1+8=9. QED

Nézzük az n^3 mod 9 számokat:

1, 8, 0, 1, 8, 0, 1, 8, 0. Hoppá. Bármelyik három egymást követ maradék összege 0. Ez azért jó, mert ha a három számom 9x+m, 9x+(m+1) és 9x+(m+2), akkor valójában a köbökből csak m^3, (m+1)^3 és (m+2)^3 a lényeges, illetve ezek maradékai. Egy összeg ugyanis akkor osztható 9-cel, ha a maradékok összege osztható 9-cel. Itt pedig pontosan ez történik.

Az első jelentősen rövidíthető:

3*n*(n^2+2) ebből n^2 mod 3 az vagy 0 vagy 1, ha 0 akkor n is 0 vagyis osztható 3-al vagyis 3n osztható 9-el. Ha 1 akkor 3(n^2+2) osztható 9-el. Kész.